植木算とは？ 木と間の数の図でわかる解き方と教え方
植木算は、道や池のまわりに同じ間かくで木を植えるとき、「木の数」と「木と木の間の数」の関係を考える特殊算です。 長さを間かくで割ると出てくるのは「間の数」で、木の数とは限らない、というところがポイントです。
このページの上にあるシミュレーターでは、木を1本ずつ植えながら、木の数と間の数がどうふえていくかを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、植木算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。
植木算とは
植木算は、次のような問題です。
長さ30mのまっすぐな道に、5mおきに木を植えます。両はしにも植えます。木は何本いりますか。
30÷5＝6 と計算して「6本」と答えたくなりますが、これはまちがいです。 30÷5＝6 で求められるのは、木と木の「間」の数です。 両はしにも木を植えると、木は間より1本多い 7本 になります。
植木算では、次の2つを分けて考えます。
- 間の数：長さ ÷ 間かく で求められる
- 木の数：間の数に、はしの植え方に合わせて1をたしたり引いたりして求める
まずは基本：両はしに植える
最初の問題を、順番に解いてみます。
- 間の数を出す：30÷5＝6。間は6つ
- はしの植え方を確かめる：両はしに植えるので、木の数は間の数より1多い
- 木の数を出す：6＋1＝7。7本
- 検算する：間かく5mの間が6つで、5×6＝30m。道の長さとぴったり合います
図で、2本目からの木と、その左どなりの間を1つずつ組にしていくと、はじめのはしの木だけが組になれずに残ります。 これが「＋1」の正体です。
4つの形を整理する
木の数と間の数の関係は、はしの植え方で決まります。 同じ「30mの道（池のまわりの長さも30m）に5mおき」で、間の数はどれも6つです。
| 植え方 | 木の数と間の数の関係 | 30mに5mおき（間は6つ）のとき |
|---|---|---|
| 両はしに植える | 木の数 ＝ 間の数 ＋ 1 | 6＋1＝7本 |
| 片方のはしだけに植える | 木の数 ＝ 間の数 | 6本 |
| 両はしに植えない | 木の数 ＝ 間の数 − 1 | 6−1＝5本 |
| 池のまわりに植える | 木の数 ＝ 間の数 | 6本 |
池のまわりは、「両はしに植えた道」をまるめて、両はしをつないだ形と考えることもできます。 両はしの2本の木が重なって1本になるので、両はしに植えたときの7本より1本少ない6本になり、間の数と同じになります。
木の数から長さや間かくを求める
植木算では、木の数がわかっていて、道の長さや間かくを求める問題もあります。 このときも、まず木の数から間の数を出すところから始めます。
道の長さを求める
まっすぐな道に、5mおきに木を植えます。両はしにも植えたところ、木は全部で11本になりました。道の長さは何mですか。
- 木の数から間の数を出す：両はしに植えるので、間の数は木の数より1少ない。11−1＝10
- 長さを出す：5mの間が10こで、5×10＝50。50m
- 検算する：50÷5＝10 で間は10こ。10＋1＝11本で、ぴったり合います
間かくを求める
長さ60mのまっすぐな道に、同じ間かくで木を植えます。両はしにも植えたところ、木は全部で13本になりました。木と木の間かくは何mですか。
- 木の数から間の数を出す：13−1＝12
- 間かくを出す：60mを12の間に等しく分けるので、60÷12＝5。5m
- 検算する：60÷5＝12 で間は12こ。12＋1＝13本で、ぴったり合います
池のまわりや片方のはしだけに植える形なら、間の数は木の数と同じです。 たとえば「池のまわりに4mおきに木を植えたら12本になった」なら、間も12こで、まわりの長さは 4×12＝48m です。
題材が変わっても考え方は同じ
植木算は、「並んでいるもの」と「そのあいだ」を数える問題なら、題材が変わっても同じように解けます。
| 題材 | 「木」と「間」にあたるもの | 関係 |
|---|---|---|
| 旗を立てる | 旗と、旗と旗の間 | 両はしに立てるなら、旗の数 ＝ 間の数 ＋ 1 |
| 電柱を立てる | 電柱と、電柱と電柱の間 | 片方のはしに、もとからあるなら、新しく立てる数 ＝ 間の数 |
| 丸太を切る | 切るところと、切れた丸太 | 切る回数 ＝ 切れた本数 − 1（両はしに植えない形と同じ） |
| 円い花だんのまわりにくいを打つ | くいと、くいとくいの間 | くいの数 ＝ 間の数（池のまわりと同じ形） |
それぞれ、次のように計算します。
- 旗：48mのコースに6mおき、両はしにも立てる → 48÷6＝8（間）、8＋1＝9本
- 電柱：家から駅までの120mの道に、家の前から40mおきに立てる。駅の前には、もとから電柱がある → 120÷40＝3本
- 丸太：2m（200cm）の丸太を40cmずつに切る → 200÷40＝5本に切れて、切る回数は 5−1＝4回
- くい：まわりが24mの円い花だんに3mおき → 24÷3＝8本
丸太を切る問題では、「切れた丸太」が間にあたり、「切るところ」が両はしをのぞいた区切りにあたります。 丸太の両はしは、もともと切る必要がないからです。
子どもがつまずきやすいポイント
1. 長さ÷間かくを、そのまま木の数にしてしまう
30÷5＝6 を、そのまま「6本」と答えてしまうまちがいです。 割り算で出てくるのは「間の数」であることを、まず確かめましょう。 シミュレーターの体験モードでは、木を植えるたびに「木の数」と「間の数」が並んでふえるので、2つが別の数であることが目で見てわかります。
2. どの形でも「＋1」をしてしまう
「植木算は＋1」と覚えてしまうと、片方のはしだけに植える形や、池のまわりの形でも＋1をしてしまいます。 ＋1になるのは、両はしに植えるときだけです。 「はしに木があるか」「池のまわりのように、はしがない形か」を、問題文で確かめる習慣をつけましょう。
3. 両はしに植えない形で「−1」を忘れる
両はしに植えない形では、木の数は間の数より1少なくなります。 図をかいて、はしに木がないことを確かめると、まちがいに気づきやすくなります。
4. 逆算で、木の数をそのまま間の数として使ってしまう
「両はしに植えて11本、5mおき」から、5×11＝55m としてしまうまちがいです。 長さを出すのに使うのは、木の数ではなく間の数（11−1＝10）です。 逆算の問題でも、「木の数 → 間の数 → 長さ」の順番で考えましょう。
家での教え方
小さな数で図をかいて、実際に数える
はじめは、「10mの道に5mおき、両はしにも植える」のような小さな数で図をかき、木を1本ずつ数えてみましょう。 10÷5＝2 で間は2つ、木は3本です。 小さな数で「間より1本多い」ことを確かめてから、大きな数の問題に進むと、関係が納得しやすくなります。
手の指で確かめる
片手の指は5本で、指と指のあいだは4つです。 「指が木、指のあいだが間」と考えると、両はしに植える形（木の数 ＝ 間の数 ＋ 1）を、すぐに手で確かめられます。
4つの形を、シミュレーターで切りかえて比べる
シミュレーターの体験モードでは、同じ長さ・同じ間かくのまま、はしの植え方を切りかえられます。 4つの形で全部植えたあとに木の数を比べると、「間の数はどれも同じで、木の数だけが変わる」ことがわかります。 関係を丸暗記するより、「はしに木があるかどうか」で木の数が変わる理由を、お子さんと一緒に確かめてみてください。
まとめ
- 長さ ÷ 間かく で求められるのは「間の数」。木の数とは分けて考える
- 両はしに植えるときは 木の数 ＝ 間の数 ＋ 1、片方のはしだけのときと池のまわりのときは 木の数 ＝ 間の数、両はしに植えないときは 木の数 ＝ 間の数 − 1
- 木の数から長さや間かくを求めるときは、まず木の数から間の数を出す
- 旗・電柱・丸太を切る回数など、題材が変わっても考え方は同じ
まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に木を1本ずつ植えながら、木の数と間の数がどうふえていくかを見てみてください。
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