過不足算かふそくざん

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過不足算とは？ 2つの配り方の図でわかる解き方と教え方

過不足算は、同じものを2通りの配り方で配ったときに「あまる」「たりない」がわかっていて、そこから配る人数やものの数を求める特殊算です。 2つの配り方をくらべて、「1人あたりの差」と「全体の差」を出すところがポイントです。

このページの上にあるシミュレーターでは、子どもにみかんを1人ずつ配りながら、配り方を変えるとあまる数・たりない数がどう変わるかを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、過不足算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

過不足算とは

過不足算は、次のような問題です。

何人かの子どもにみかんを配ります。1人に3こずつ配ると2こあまり、1人に5こずつ配ると10こたりません。子どもは何人いますか。

名前の「過」は多すぎること（あまる）、「不足」はたりないことを表しています。 子どもの人数もみかんの数もわからないので、どこから手をつければよいか迷いやすい問題です。 そこで、2つの配り方の「差」に注目します。

まずは基本：あまる と たりない

最初の問題を、順番に解いてみます。

1. 1人あたりの差を出す：3こずつと5こずつでは、1人あたり 5−3＝2こ ちがう
2. 全体の差を出す：3こずつなら2こあまり、5こずつなら10こたりない。5こずつ配るには、3こずつのときより全部で 2＋10＝12こ 多くいる
3. 人数を出す：全体の差12こは、1人あたりの差2こが人数分集まったもの。12÷2＝6。6人
4. 検算する：3×6＋2＝20、5×6−10＝20。どちらもみかんは20こで、ぴったり合います

このように、数の大きさを帯の長さで表した図を線分図といいます。図では、5こずつの配り方を「3こずつ」と「あと2こずつ」に分けてかいています。 むらさきの部分（1人2こずつ × 人数）が、あまりの2こと、たりない10こを合わせた長さになっていることがわかります。 これが「全体の差 ＝ 1人あたりの差 × 人数」の関係です。

3つの組み合わせ（たすか引くか）

全体の差の出し方は、2つの配り方の「あまる・たりない」の組み合わせで変わります。

図で見ると、たすか引くかの理由がわかります。 点線（みかんの数）が、2つの帯のはしのあいだにあれば「たす」、どちらの帯よりも右（どちらもあまる）や左（どちらもたりない）にあれば「引く」です。

あまる と あまる

1人に7こずつ配ると6こあまり、1人に8こずつ配ると2こあまります。子どもは何人ですか。

1人あたりの差は 8−7＝1こ、全体の差は 6−2＝4こ。4÷1＝4 で 4人 です。みかんは 7×4＋6＝34こ です。

たりない と たりない

1人に4こずつ配ると2こたりず、1人に6こずつ配ると14こたりません。子どもは何人ですか。

1人あたりの差は 6−4＝2こ、全体の差は 14−2＝12こ。12÷2＝6 で 6人 です。みかんは 4×6−2＝22こ です。

ちょうど配れるとき

「1人に4こずつ配るとちょうど配りきれ、1人に6こずつ配ると10こたりません」のように、片方がちょうど配れる問題もあります。 ちょうど配れるほうは、あまりもたりない数も0こと考えます。 全体の差は10こで、10÷(6−4)＝5 で 5人、みかんは 4×5＝20こ です。

みかんの数を求める

「みかんは何こありますか」と聞かれたときも、まず人数を出します。 最初の問題なら、人数は6人なので、

• 3こずつ配ると2こあまる → 3×6＋2＝20こ
• 5こずつ配ると10こたりない → 5×6−10＝20こ

どちらで計算しても20こになれば、答えが合っていることの確かめにもなります。

題材が変わっても考え方は同じ

過不足算は、「1人（1つ）あたりの数」を変えて2通りに分けたときの「あまる・たりない」がわかっている問題なら、題材が変わっても同じように解けます。

それぞれ、次のように計算します。

• 画用紙：1人に2まいずつ配ると1まいあまり、3まいずつ配ると4まいたりない → 全体の差 1＋4＝5まい、5÷(3−2)＝5人、画用紙は 2×5＋1＝11まい
• 長いす：1きゃくに4人ずつすわると6人がすわれず、6人ずつすわると長いすが2きゃくあまる → 空いた2きゃくは 6×2＝12人分の席なので「12人たりない」と読みかえる。全体の差 6＋12＝18人、18÷(6−4)＝9きゃく、人数は 4×9＋6＝42人

長いすの問題のように「空いたいす」や、「5こずつ配ると最後の1人だけ3こになる」（5−3＝2こたりない、と読みかえる）のような形は、あまる数・たりない数に読みかえるひと手間が必要です。 このページのシミュレーターではこれらの形や、2種類のものを配る問題は扱っていませんが、読みかえたあとの考え方は同じです。

また、シミュレーターの問題では、あまりを1人に配る数より少なくしています。 問題集などでは「1人に3こずつ配ると20こあまり、5こずつ配ると4こあまる」のように、あまりが1人に配る数より多い問題もあります。 この場合も考え方は同じで、(20−4)÷(5−3)＝8人、みかんは 3×8＋20＝44こ です。

子どもがつまずきやすいポイント

1. あまる と たりない なのに、引いてしまう

「差」という言葉につられて、10−2＝8 と引いてしまうまちがいです。 あまる と たりない のときは、全体の差は たし算（2＋10＝12）です。 図で、みかんの数（点線）が2つの帯のはしのあいだにあることを確かめると、たす理由がわかります。

2. どちらもあまる（たりない）のに、たしてしまう

「7こずつで6こあまり、8こずつで2こあまる」を 6＋2＝8 としてしまうまちがいです。 どちらもあまるときは、あまりの差（6−2＝4）が全体の差になります。

3. 全体の差を、そのまま人数にしてしまう

全体の差12こを出したところで「12人」と答えてしまうまちがいです。 12こは「1人あたり2こ」の差が人数分集まったものなので、12÷2 で人数を出します。

4. みかんの数を聞かれているのに、人数で止まる・足し引きを逆にする

みかんの数を求める問題で、人数の6を答えてしまったり、「3こずつで2こあまる」から 3×6−2 と引いてしまったりするまちがいです。 あまるときは、配った数にあまりをたす、たりないときは、配るのにいる数からたりない数を引く、と確かめましょう。 2つの配り方の両方で計算して、同じ数になるかを見ると、まちがいに気づけます。

家での教え方

おはじきなどで、実際に配ってみる

はじめは、子ども役の紙を並べて、おはじきを1人ずつ配ってみましょう。 「3こずつだと2こあまった」「5こずつにしたら、たりなくなった」を手で体験すると、あまる数とたりない数の意味がつかみやすくなります。

「1人あたり2こふやすと、全部で何こいる？」と聞く

「3こずつから5こずつにすると、1人あたり何こふえる？」「6人なら、全部で何こふえる？」と、人数がわかっている形で先に考えると、「全体の差 ＝ 1人あたりの差 × 人数」の関係が納得しやすくなります。 そのあとで、人数がわからない問題を逆にたどると、割り算で人数が出る理由がわかります。

2つの配り方を、シミュレーターで切りかえて比べる

シミュレーターの「たいけん」のタブでは、同じ人数・同じみかんの数のまま、配り方を切りかえられます。 2つの配り方で全員に配り終えると、1人あたりの差と全体の差が表示されます。 「全体の差を1人あたりの差で割ると、子どもの人数になる」ことを、お子さんと一緒に確かめてみてください。

まとめ

• 過不足算は、2つの配り方の「1人あたりの差」と「全体の差」から人数を求める
• 全体の差は、あまる と たりない なら たし算、どちらもあまる・どちらもたりない なら 引き算
• 人数 ＝ 全体の差 ÷ 1人あたりの差。ものの数は、人数を出してから計算し、もう1つの配り方で検算する
• 画用紙を配る、長いすにすわるなど、題材が変わっても考え方は同じ

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒にみかんを1人ずつ配りながら、あまる数とたりない数がどう変わるかを見てみてください。

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最終更新日: 2026/09/26