いもづる算ざん

この記事にはプロモーション（広告）が含まれています。

いもづる算とは？ 表に書き出して「入れかえ」で全部見つける

いもづる算は、2種類の品物を買って、合計金額をちょうどにする買い方を調べる特殊算です。 いちばん大切なのは、表に書き出して1組見つけたら、同じ金額どうしの「入れかえ」で次の組を見つけることです。

このページの上にあるシミュレーターでは、えんぴつとけしゴムなどの買い物を題材に、表を1行ずつ書いて、ちょうどになる行がどんな間かくで見つかるかを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、いもづる算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

いもづる算とは

いもづる算は、次のような問題です。

1本80円のえんぴつと、1こ50円のけしゴムを、どちらも1こ以上買って、合計をちょうど1300円にします。買い方は何通りありますか。

2種類の品物を、どちらも1こ以上買って、合計金額をちょうどにする買い方を調べます。 合計の金額は決まっていますが、合わせて何こ買うかは決まっていないので、答えになる買い方が1つとは限りません。そこで、「買い方は何通りあるか」「いちばん多く買うときは何こか」のように聞かれます。

1つ見つかると、そこから次々につながって見つかるのが、この問題の特ちょうです。

表に書き出して、わり切れる行をさがす

まずは、えんぴつの数を1本ずつふやして、表に書き出します。 えんぴつの代金を合計からひいた「のこり」が、けしゴム1こ分の50円でわり切れれば、のこりでけしゴムがちょうど買えます。

えんぴつが5本のとき、のこりは 1300−400＝900円で、900÷50＝18。けしゴムをちょうど18こ買えます。これで1組見つかりました。

表を書くのは、のこりがけしゴム1こ分の50円より少なくなる手前までです。どちらも1こ以上買うので、それ以上えんぴつをふやすと、けしゴムが1こも買えなくなります。

「入れかえ」で、次の組が見つかる

1組見つかったら、そこから次の組を見つける方法があります。

えんぴつ5本は 80×5＝400円、けしゴム8こは 50×8＝400円で、どちらも400円です。 だから、えんぴつを5本ふやして、けしゴムを8こへらしても、合計は変わりません。これを「入れかえ」とよぶことにします。

• えんぴつ5本・けしゴム18こ（400＋900＝1300円）
• 入れかえて、えんぴつ10本・けしゴム10こ（800＋500＝1300円）
• もう一度入れかえて、えんぴつ15本・けしゴム2こ（1200＋100＝1300円）

けしゴムは2こしかないので、これ以上8こはへらせません。ここでおわりです。

表を最後まで書いても、○の行は同じ間かくでならびます。入れかえの分だけ、えんぴつは5本ずつふえ、けしゴムは8こずつへるからです。 入れかえの数は、○の行を2つ見つけて、その2つの行のちがいをくらべてもわかります（えんぴつ 10−5＝5本、けしゴム 18−10＝8こ）。

例題1：買い方は何通り

1本80円のえんぴつと、1こ50円のけしゴムを、どちらも1こ以上買って、合計をちょうど1300円にします。買い方は何通りありますか。

1. 表に書き出して、1組見つける：えんぴつ5本のとき、のこりは 1300−400＝900円。900÷50＝18で、けしゴム18こ
2. 入れかえを見つける：えんぴつ5本と、けしゴム8こは、どちらも400円
3. 入れかえて、はしまで調べる：えんぴつ10本・けしゴム10こ、えんぴつ15本・けしゴム2こ。けしゴムはこれ以上へらせない
4. 数える：えんぴつ5本・10本・15本の 3通り

検算：80×5＋50×18＝400＋900＝1300円、80×10＋50×10＝800＋500＝1300円、80×15＋50×2＝1200＋100＝1300円で、どれも1300円ちょうどです。

例題2：いちばん多く買うとき

1さつ120円のノートと、1本90円のペンを、どちらも1こ以上買って、合計をちょうど1500円にします。ノートをいちばん多く買うとき、ノートは何さつですか。

1. 表に書き出して、1組見つける：ノート1さつのとき、のこりは 1500−120＝1380円で、90円でわり切れない。ノート2さつのとき、のこりは 1500−240＝1260円。1260÷90＝14で、ペン14本
2. 入れかえを見つける：ノート3さつは 120×3＝360円、ペン4本は 90×4＝360円で、どちらも360円
3. 入れかえて、はしまで調べる：ノート2さつ・ペン14本、5さつ・10本、8さつ・6本、11さつ・2本。ペンは2本しかないので、これ以上4本はへらせない
4. いちばん多いところを答える：ノートがいちばん多いのは、さいごの組の 11さつ

検算：120×11＝1320円、のこりは 1500−1320＝180円で、180÷90＝2本。1320＋180＝1500円で、問題と合います。

入れかえの数（ノート3さつとペン4本）は、次のように考えても出せます。 120円と90円は、どちらも30円のまとまりでできています（120＝30×4、90＝30×3）。ノート1さつは30円が4つ分、ペン1本は30円が3つ分です。ノート3さつも、ペン4本も、30円が12こ分（360円）で同じ金額になります。 30のように、2つの数のどちらもわり切れるいちばん大きい数を、最大公約数といいます。

2つの例題をくらべる

どちらも、表に書き出して1組見つける → 入れかえを見つける → はしまで調べるという順番は同じです。 「何通り」なら答えの組の数を、「いちばん多く」なら、はしの組を答えます。

つるかめ算・消去算・周期算とのつながり

つるかめ算は、ツルとカメの「合わせた数」と「足の数の合計」の2つがわかっている問題です。いもづる算に、合わせて何こ買ったかという条件が加わると、答えは1つに決まり、つるかめ算になります。例題1で「えんぴつとけしゴムを合わせて20こ買った」とすると、3通り（合わせて23こ、20こ、17こ）のうち、えんぴつ10本・けしゴム10こだけになります。つるかめ算の「全部えんぴつだったら」と考える方法でも、80×20＝1600円、1600−1300＝300円、300÷（80−50）＝10で、けしゴムは10こと出せます。

消去算は、2つの買い方の代金から、1こずつのねだんを求める問題です。2つの買い方（2つの式）があるので、答えは1つに決まります。いもづる算は、ねだんはわかっていても、わかっている買い方の条件が「合計1300円」の1つしかないので、答えが1つに決まらず、表に書き出して全部さがします。

周期算は、決まった順にくり返すならびで考える問題です。いもづる算の表でも、○の行は同じ間かくでくり返しあらわれます（例題1ならえんぴつ5本ごと）。くり返しの間かくを見つけて、遠くまで1つずつ調べずに見通す点が、周期算と共通しています。

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

シミュレーターでは、2種類の品物を、どちらも1こ以上買う形を扱っています。

• 3種類の品物を買う問題・0こ（買わない品物がある）も許す問題：同じように表に書き出して、ちょうどになる組を順に調べます

子どもがつまずきやすいポイント

1. 1組見つけて終わる

例題1で、えんぴつ5本・けしゴム18こを見つけたところで「1通り」と答えてしまうまちがいです。 いもづる算は、答えになる買い方が1つとは限りません。1組見つかったら、入れかえで次の組がないかを調べ、はしまで進みます。

2. 0こも数える

例題1で、えんぴつ0本・けしゴム26こ（50×26＝1300円）も数えて、4通りとしてしまうまちがいです。 問題には「どちらも1こ以上」とあるので、えんぴつを買わない組は数えません。表をえんぴつ1本の行から書きはじめると、このまちがいをふせげます。

3. 表のはしの組を落とす

例題1で、えんぴつ15本・けしゴム2この組を落として、2通りとしてしまうまちがいです。 表は、のこりがけしゴム1こ分の50円より少なくなる手前まで書きます。入れかえで進むときも、けしゴムがまだ1こ以上のこるかを確かめてから止めます。

4. 最初に見つけた組を答える

例題2で、最初に見つけたノート2さつ・ペン14本の「2さつ」を答えてしまうまちがいです。 ノート2さつは、ノートがいちばん少ない組です。「いちばん多く」と聞かれているので、入れかえでノートをふやしていき、はしの11さつを答えます。

家での教え方

表を1行ずつ書いてみる

最初は、入れかえを教える前に、えんぴつを1本ずつふやして表を書いてもらいましょう。 のこりの金額をけしゴムのねだんでわって、わり切れたら○、わり切れなければ×をつけます。○がいくつか見つかったら、「○と○の間は何行あいている？」と聞いてみてください。同じ間かくでならんでいることに自分で気づけると、入れかえの意味がわかりやすくなります。

「同じ金額になるのは何本と何こ？」と聞く

○を2つ見つけたら、2つの行のちがいをくらべて、「えんぴつ5本と、けしゴム何こが同じ金額？」と聞いてみましょう。 えんぴつ5本（400円）とけしゴム8こ（400円）が同じ金額だとわかれば、入れかえても合計が変わらない理由を、自分のことばで説明できるようになります。

シミュレーターで、○の行の間かくを確かめる

シミュレーターの「たいけん」のタブでは、「1行 書く」のボタンを押すたびに表が1行ずつ書かれ、のこりがわり切れる行に○がつきます。○が2つ以上見つかると、○の行どうしが線でつながり、入れかえの数も出ます。 お子さんと一緒に、「次の○は何本のところかな？」と先に予想してから、ボタンで確かめてみてください。「ときかた」のタブでは、1組見つけてから入れかえで全部の組を出すまでを、順に見られます。

まとめ

• いもづる算は、2種類の品物を、どちらも1こ以上買って、合計金額をちょうどにする買い方を調べる問題。合わせて何こ買うかが決まっていないので、答えが1つとは限らない
• 1つの品物の数を1こずつふやして表に書き出し、のこりがもう1つの品物のねだんでわり切れる行をさがす
• 同じ金額どうしの「入れかえ」（えんぴつ5本とけしゴム8こ）をすると、合計を変えずに次の組が見つかる。答えの組は同じ間かくでならぶ
• はしまで調べて、「何通り」なら組の数を、「いちばん多く」ならはしの組を答える
• 答えが出たら、代金をたして、合計とちょうど合うかを確かめる

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に表を1行ずつ書いて、○の行がどんな間かくで見つかるかを見てみてください。

いもづる算の練習プリントを印刷する（6問・答えと とき方つき・難しさを選べる・無料）

入試まで、週末はあと何回？ ▶ 数えてみる

最終更新日: 2026/10/29