周期算しゅうきざん

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周期算とは？ くり返しのまとまりでわかる解き方と教え方

周期算は、決まった順にくり返すならびで、「何番目が何か」「何こあるか」を考える特殊算です。 いちばん大切なのは、くり返しの1まとまり（周期）を見つけて、わり算とあまりで考えることです。何十番目のように遠いところでも、1つずつ数えずに答えが出せます。

このページの上にあるシミュレーターでは、赤・青・青・黄のような玉のくり返しを題材に、1まとまりを1行にならべて、わり算とあまりで数える流れを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、周期算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

周期算で使う言葉

「1まとまりに分けて、わり算をする」

玉を1つずつ数えると、50番目までは長い作業です。そこで、1まとまりのこ数でわります。

• 50 ÷ 4 ＝ 12 あまり 2
• 12まとまりと、あまり2こ（あまりは、まとまりの先頭の「赤・青」にあたる）

「まとまりの数」と「あまり」の2つがわかれば、まとまりの中の数え方は1回分だけ調べれば足ります。

例題1：n番目までに○色は何こ

赤・青・青・黄の順にくり返して玉をならべます。はじめから50番目までに、赤の玉は何こありますか。

1. 1まとまりを見つける：赤・青・青・黄の4こ。1まとまりに赤は1こ
2. わり算をする：50 ÷ 4 ＝ 12 あまり 2
3. まとまりの分を数える：1 × 12 ＝ 12こ
4. あまりの分を数える：あまりの2こは「赤・青」で、赤は1こ。12 ＋ 1 ＝ 13こ

答えは13こです。青の玉なら、1まとまりに青は2こなので 2 × 12 ＝ 24こ、あまりの「赤・青」に青が1こあるので、24 ＋ 1 ＝ 25こになります。

例題2：○色のkこ目は何番目

赤・青・青・黄の順にくり返して玉をならべます。青の玉の20こ目は、はじめから何番目ですか。

今度は、逆にたどります。

1. 1まとまりの中の青を数える：1まとまりに青は2こ
2. 何まとまり目かを出す：20 ÷ 2 ＝ 10。ちょうどわりきれるので、10まとまり目の、最後の青（2こ目の青）
3. まとまりの中の何番目かを見る：青の2こ目は、まとまりの3番目（赤・青・青・黄の3番目）
4. はじめからの番号にもどす：その前に 10 − 1 ＝ 9まとまり分、9 × 4 ＝ 36こがあるので、36 ＋ 3 ＝ 39番目

検算は、39番目までを数え直します。39 ÷ 4 ＝ 9 あまり 3。まとまりの分の青が 2 × 9 ＝ 18こ、あまりの「赤・青・青」に青が2こで、18 ＋ 2 ＝ 20こ目になります。

例題3：n番目からm番目までに○色は何こ

赤・青・青・黄の順にくり返して玉をならべます。21番目から50番目までに、赤の玉は何こありますか。

「50番目までの赤」から、「20番目までの赤」をひきます。

1. 50番目までの赤：例題1のとおり、13こ
2. 20番目までの赤：20 ÷ 4 ＝ 5 あまり 0。1 × 5 ＝ 5こ
3. ひき算：13 − 5 ＝ 8こ

ここで大切なのは、ひくのは「20番目まで」であって、「21番目まで」ではないことです。21番目は、数えたい範囲の最初の玉です。21番目までをひいてしまうと、21番目の赤（21番目は新しいまとまりの先頭なので、赤です）まで引かれて、答えが1こ少なくなります。

「あまり」の扱い

周期算では、あまりをどう考えるかで答えが変わります。

• あまりが0のとき：ちょうどまとまりで終わります。たとえば48番目なら、48 ÷ 4 ＝ 12 あまり 0 で、48番目の玉は12まとまり目の最後の玉（黄）です。「あまり0だから、0番目」と考えないようにします
• あまりがあるとき：あまりのこ数は、まとまりの先頭から数えます。あまりが2こなら、「赤・青」の2こです
• あまりの中に、数える色がないとき：あまりの分は0こなので、まとまりの分だけが答えです。たとえば黄の玉を50番目までに数えるとき、あまりの「赤・青」に黄はないので、答えは 1 × 12 ＝ 12こです

植木算・時計算とのつながり

植木算では、「間の数」と「木の数」が1ずれることに気をつけます。周期算でも、「何番目まで」と「何番目の前まで」を取りちがえると、1ずれます。例題3の「20番目まで」をひく考え方は、この1のずれを整理する練習になります。 時計算も、針の動きが同じようにくり返されることを使う問題です。くり返しに目をつけるところは、周期算と同じです。

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

シミュレーターでは、次の形は扱っていませんが、同じ「くり返しのまとまりで考える」考え方につながります。

• 曜日：ある日が水曜日なら、100日後は何曜日か。曜日は7日でくり返すので、100 ÷ 7 ＝ 14 あまり 2。水曜日から2つ進んで、金曜日です
• 等差数列：「2、5、8、11、…」のように、同じ数ずつ増えていくならび。たとえば10番目は、2 ＋ 3 × 9 ＝ 29です
• ならびが途中で変わる形：くり返しのまとまりが途中で変わる問題は、ここでは扱いません

曜日は日暦算、同じ数ずつ増えていくならびは等差数列の単元で扱っています。

子どもがつまずきやすいポイント

1. あまりの分を数え忘れる

例題1で、12まとまりの分の12こだけを答えてしまうまちがいです。50番目までは、12まとまりのあとに、あまり2こが続いています。 「あまりの中にも、数える色はないかな？」と聞いてみましょう。

2. まとまりの数だけを答える

50 ÷ 4 ＝ 12 あまり 2 の「12」を、そのまま答えにしてしまうまちがいです。 12は、まとまりの数です。1まとまりの中に赤が何こあるかをかけて、はじめてこ数になります。

3. 「○こ目」の問題で、まとまり数と1まとまりのこ数をかけてしまう

例題2で、10 × 4 ＝ 40番目と答えてしまうまちがいです。 40番目は、10まとまり目の最後の玉（黄）です。青の20こ目は、その1つ前の「青」なので、39番目です。まとまりの中で、青が何番目にあるかを見ましょう。

4. 数えはじめの番号の玉をひいてしまう

例題3で、「21番目まで」をひいてしまうまちがいです。範囲の最初の玉をふくめるために、ひくのは「その1つ前まで」です。

5. 答えを確かめない

答えを出したら、はじめから数え直して合うかを確かめる習慣をつけましょう。たとえば、39番目までで青が20こ目になるか、数えてみます。

家での教え方

「1まとまりはどこまで？」と聞く

問題を見たら、まず「どこからどこまでが1まとまり？」と聞いてみましょう。 赤・青・青・黄のように、はじめの玉にもどるところが、1まとまりの終わりです。

1まとまりを1行に書く

1まとまりを1行にして、玉の色を書いた丸をならべてかいてもらいましょう。右に「4番目」「8番目」のように、その行の最後の番号を書きます。 行の数がまとまりの数で、最後の行の長さがあまりです。

シミュレーターで数え方を確かめる

シミュレーターの「たいけん」のタブでは、色のボタンでくり返しのまとまりを作り、「何番目まで」を変えながら、数えたい色の玉を数えて確かめられます。 お子さんと一緒に、「あまりはいくつになりそう？」と先に予想してから、確かめてみてください。

まとめ

• 周期算は、決まった順にくり返すならびで、何番目が何か、何こあるかを考える。1まとまり（周期）を見つけて、わり算とあまりで考える
• n番目までの○色のこ数は、（1まとまりの中の○色のこ数）×（まとまりの数）に、あまりの中の○色のこ数をたす
• ○色のkこ目が何番目かは、逆にたどる。何まとまり目か、まとまりの中の何番目かを出して、はじめからの番号にもどす
• n番目からm番目までは、「m番目まで」から「n−1番目まで」をひく
• あまりが0のときは、最後はまとまりの最後の玉

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に、1まとまりに分けて、わり算とあまりで数える流れを見てみてください。

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最終更新日: 2026/10/14