等差数列とうさすうれつ

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等差数列とは？ 同じ数ずつふえる列の解き方と教え方

等差数列は、「3, 7, 11, 15, …」のように、同じ数ずつふえていく数の列です。 はじめの数と、ふえる数（となりとの差）がわかれば、列のどこの数でも、1つずつ書き出さずに求められます。

このページの上にあるシミュレーターでは、はじめの数・ふえる数・何番目までを変えて、棒の列と最後の数がどう変わるかを確かめられます。「ならべて たす」に切りかえると、同じ列を逆向きに重ねて和を求める様子も見られます。 この記事では、保護者の方向けに、等差数列の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

等差数列とは

等差数列は、はじめの数とふえる数の2つで決まります。「3, 7, 11, 15, …」なら、はじめの数は3、ふえる数は4です。

いちばん大切なのは、n番目までに ふえるのは、n回ではなく n − 1回ということです。1番目はまだふえていない数で、2番目で1回、3番目で2回ふえています。 これは植木算の「木の数」と「間の数」の関係と同じです。数を木、となりとの差を木と木の間と考えると、20本の木の間は19か所です。

例題1：n番目の数

3, 7, 11, 15, … と、同じ数ずつふえる数の列があります。20番目の数はいくつですか。

1. ふえた回数を数える：1番目から20番目まで、となりとの間は20こではなく19こ。ふえるのは 20 − 1 ＝ 19回
2. はじめの数に、ふえた分をたす：4ずつ19回ふえるので、ふえた分は 4 × 19 ＝ 76。3 ＋ 76 ＝ 79

答えは79です。式にまとめると、はじめの数 ＋ ふえる数 × (n − 1) で、3 ＋ 4 × 19 ＝ 79 になります。

例題2：ある数は何番目か

3, 7, 11, 15, … と、同じ数ずつふえる数の列があります。99は何番目の数ですか。

今度は、例題1を逆にたどります。

1. はじめの数との差を出す：99 − 3 ＝ 96。1番目の3から、96ふえています
2. ふえる数でわる：1回に4ずつふえるので、96 ÷ 4 ＝ 24回ふえています
3. ＋1して何番目かを出す：番目は、ふえた回数より1大きいので、24 ＋ 1 ＝ 25番目

答えは25番目です。 検算は、例題1と同じ式で確かめます。3 ＋ 4 × 24 ＝ 99 なので、25番目は99で合っています。

例題3：1番目からn番目までの和

3, 7, 11, 15, … と、同じ数ずつふえる数の列があります。1番目から20番目までの数を、ぜんぶたすといくつですか。

20こを1つずつたすのは大変です。そこで、同じ列を逆向きにならべて、上下でたします。

1. 20番目の数を出す：例題1のとおり、3 ＋ 4 × 19 ＝ 79
2. 逆にならべてたす：「3, 7, …, 75, 79」の下に「79, 75, …, 7, 3」をならべると、上下の組はどれも 3 ＋ 79 ＝ 82。82が20組あるので、82 × 20 ＝ 1640
3. 2でわる：1640は、同じ列を2つ分たしたもの。もとの列はその半分なので、1640 ÷ 2 ＝ 820

答えは820です。式にまとめると、(はじめの数 ＋ 最後の数) × こ数 ÷ 2 です。 たとえば、1から100までの整数の和も、(1 ＋ 100) × 100 ÷ 2 ＝ 5050 と求められます。

植木算・周期算とのつながり

植木算では、「木の数」と「間の数」が1ずれることに気をつけます。等差数列でも、「何番目か」と「ふえた回数」が1ずれます。例題1の「20 − 1」、例題2の「24 ＋ 1」は、どちらもこの1のずれです。 周期算は、同じならびがくり返す列を、わり算とあまりで考える問題です。数の列の決まりを見つけて、1つずつ書き出さずに遠くの番目を求めるところは、等差数列と同じです。

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

• へっていく列：はじめの数から同じ数ずつひいていく列も、ふえる数のかわりにへる数を使えば、同じ考え方で解けます
• 図形の数の列：正方形を横にnこならべるときのマッチ棒の本数は、4 ＋ 3 × (n − 1)（＝ 3 × n ＋ 1）本です。10こなら 4 ＋ 3 × 9 ＝ 31本になります

子どもがつまずきやすいポイント

1. 「n − 1」を忘れて、n回ふやしてしまう

例題1で、3 ＋ 4 × 20 ＝ 83 としてしまうまちがいです。 1番目の3は、まだ1回もふえていない数です。「2番目は、何回ふえた数？」と小さい番目から聞くと、ふえた回数が番目より1少ないことに気づきやすくなります。

2. 何番目かを聞かれて「＋1」を忘れる

例題2で、96 ÷ 4 ＝ 24 を、そのまま「24番目」と答えてしまうまちがいです。 24は、ふえた回数です。番目は、それより1大きい25番目です。答えが出たら、3 ＋ 4 × (24 − 1) ＝ 95 のように確かめると、99にならないことでまちがいに気づけます。

3. 和で「÷2」を忘れる

例題3で、82 × 20 ＝ 1640 を答えにしてしまうまちがいです。 1640は、もとの列と逆向きの列の、2つ分の和です。図の上下の棒を見ながら、「列はいくつ分ある？」と聞いてみましょう。

家での教え方

小さい番目で書き出して、決まりを見つける

いきなり式を教えるより、はじめの5つくらいを書き出して、「1番目は 3 ＋ 4 × 0」「2番目は 3 ＋ 4 × 1」「3番目は 3 ＋ 4 × 2」とならべてみましょう。 かける数が、いつも番目より1小さいことが、自分で見つけられます。

答えが出たら、もとの列にもどして確かめる

何番目かを求めたら、その番目の数を例題1の式で出し直して、問題の数と合うか確かめます。 例題2なら、3 ＋ 4 × (25 − 1) ＝ 99 で合っています。

シミュレーターで、ならべてたす様子を見る

シミュレーターの「たいけん」のタブで「ならべて たす」に切りかえると、同じ列を逆向きに重ねた棒が、どの組も同じ高さになる様子が見られます。 お子さんと一緒に、「何番目までを1つふやすと、和はどうなりそう？」と先に予想してから、ボタンをおして確かめてみてください。

まとめ

• 等差数列は、同じ数ずつふえる数の列。はじめの数と、ふえる数で決まる
• n番目までにふえるのは n − 1回。n番目の数は、はじめの数 ＋ ふえる数 × (n − 1)
• ある数が何番目かは、はじめの数との差をふえる数でわって、＋1する
• 1番目からn番目までの和は、逆にならべてたす。(はじめの数 ＋ 最後の数) × こ数 ÷ 2
• 「−1」「＋1」「÷2」を忘れやすいので、答えが出たら、もとの列にもどして確かめる

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に、棒の列とならべてたす図を見比べてみてください。

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最終更新日: 2026/10/16