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道順の数え方とは？ 交差点に数を書きこんで「たし算」で数える
道順の問題は、碁盤の目の道を、遠回りしないで A から B まで行く道順が何通りあるかを数える問題です。 いちばん大切なのは、交差点ごとに「そこまでの行き方の数」を書きこみ、左の数と下の数をたして進めることです。道順を1本ずつ数えなくても、たし算をくり返すだけで答えが出ます。
このページの上にあるシミュレーターでは、交差点に1つずつ数を書きこみながら、その数が「左から来る数」と「下から来る数」のたし算になっている様子を確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、道順の数え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。
道順とは
この記事の碁盤の目は、A が左下、B が右上です。遠回りしないで行くとは、右か上にだけ進むことです。左や下にもどる道順は数えません。
| 言葉 | 意味 |
|---|---|
| 区画 | 交差点と交差点の間の、道1本分の長さ。「横4区画」なら、A から B まで右に4回進む |
| 交差点 | 道と道が交わるところ。横4区画なら、横に5つならぶ |
| 道順 | A から B までの進み方。右と上の進み方の順番がちがえば、別の道順として数える |
横4区画・たて3区画の碁盤なら、どの道順も「右に4回・上に3回」進みます。ちがうのは、右と上をどんな順番で進むかだけです。
足し算の方法
ある交差点へは、左の交差点から右に進んで来るか、下の交差点から上に進んで来るかのどちらかでしか来られません。 だから、その交差点までの行き方の数は、「左の交差点までの数」と「下の交差点までの数」をたした数になります。
| 交差点 | そこまでの行き方の数 |
|---|---|
| いちばん下の行 | 1（右にまっすぐ進むしかない） |
| いちばん左の列 | 1（上にまっすぐ進むしかない） |
| それ以外 | 左の数＋下の数 |
まず、いちばん下の行といちばん左の列に1を書きます。そのあと、下の行の左から順に、左の数と下の数をたして書きこんでいきます。B に書いた数が答えです。
保護者の方へ：これは、右4回・上3回の並べ方を数えることと同じです。
例題1：ふつうの碁盤
横4区画・たて3区画の碁盤の目の道があります。A から B まで、遠回りしないで行く道順は何通りありますか。
- はしに1を書く：いちばん下の行（5つ）と、いちばん左の列（4つ）に1を書く
- 下から2行目：左の数と下の数をたして、1 ＋ 1 ＝ 2、2 ＋ 1 ＝ 3、3 ＋ 1 ＝ 4、4 ＋ 1 ＝ 5
- 下から3行目：たとえば右に2・上に2の交差点は、左の3と下の3をたして 3 ＋ 3 ＝ 6。この行は 1、3、6、10、15
- いちばん上の行：1、4、10、20 と書いて、B は左の20と下の15をたして 20 ＋ 15 ＝ 35。35通り
ページ上部のシミュレーターの「たいけん」のタブでは、交差点に1つずつ数を書きこみながら、もとになる左の数と下の数と、「3＋3＝6」のような式を確かめられます。
例題2：必ず通る点がある
例題1と同じ碁盤で、A から右に2・上に1の交差点を P とします。A から P を通って B まで、遠回りしないで行く道順は何通りありますか。
- A から P まで：横2区画・たて1区画の碁盤と同じ。足し算の方法で数えると3通り
- P から B まで：P から B までは、横2区画・たて2区画の碁盤と同じ。足し算の方法で数えると6通り
- かけ算でまとめる：A から P までの3通りのどれを選んでも、そのあと P から B までの行き方が6通りずつある。3 × 6 ＝ 18。18通り
たし算ではなくかけ算になるのは、「A から P まで」と「P から B まで」を続けて進むからです。A から P までの1つ目の行き方に6通り、2つ目にも6通り、3つ目にも6通りの続きがあるので、6通りが3つ分で 3 × 6 ＝ 18通りになります。 図のように、P の3から始めて、P から先を足し算の方法で続けても、B は 9 ＋ 9 ＝ 18 になり、かけ算の答えと合います。
例題3：通れない道がある
横3区画・たて3区画の碁盤の目の道があります。A から右に1・上に1の交差点と、右に2・上に1の交差点の間の道は、工事中で通れません。A から B まで、遠回りしないで行く道順は何通りありますか。
解き方1：通れない道から来る数はたさない
足し算の方法で数を書きこみます。右に2・上に1の交差点には、左の交差点からは来られないので、下の数だけを書きます。
- 通れない道の先：右に2・上に1の交差点は、下の1だけで1（左の2はたさない）
- その右：右に3・上に1の交差点は 1 ＋ 1 ＝ 2
- 上の行へ：下から3行目は 1、3、4、6。いちばん上の行は 1、4、8、14
- B の数：左の8と下の6をたして 8 ＋ 6 ＝ 14。14通り
解き方2：ふつうの数から、通れない道を通る数を引く
- ふつうの碁盤の数：横3区画・たて3区画で、通れない道がなければ20通り
- 通れない道を通る数：A から右に1・上に1の交差点までは2通り、通れない道を通ったあと、右に2・上に1の交差点から B までは3通り。2 × 3 ＝ 6通り
- 引く：20 − 6 ＝ 14。14通り
2つの解き方の答えは、どちらも14通りで合います。通れない道が1本なら解き方2も使えますが、本数がふえると引く数を数えるのが大変になるので、ふだんは解き方1をおすすめします。
3つの例題をくらべる
| 例題 | 碁盤 | 条件 | 考え方 | 答え |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 横4区画・たて3区画 | なし | 左の数＋下の数をくり返す | 35通り |
| 2 | 横4区画・たて3区画 | P を必ず通る | A→P の3通り × P→B の6通り | 18通り |
| 3 | 横3区画・たて3区画 | 通れない道が1本 | 通れない道から来る数はたさない | 14通り |
どの例題も、交差点に「そこまでの行き方の数」を書きこむことは同じです。条件があるときは、その条件を、書きこむ数のどこに使うかを考えます。
いもづる算・方陣算・等差数列とのつながり
いもづる算では、表に書き出して、条件に合う組を全部さがします。道順も、小さな碁盤なら全部書き出せます。例題2の P から B まで（右に2・上に2）の6通りは、「右右上上」「右上右上」「右上上右」「上右右上」「上右上右」「上上右右」です。もれや重なりがないように、順番を決めて書き出す点が、いもづる算で表に書き出すときと同じです。足し算の方法は、この書き出しをしなくても、同じ数が出せる方法です。
方陣算では、ご石を正方形にならべて、全部の数を「1辺 × 1辺」で数えます。道順の碁盤でも、交差点は横とたてにならんでいて、例題1の碁盤なら横5つ・たて4つで、5 × 4 ＝ 20こあります。区画の数（横4・たて3）より、交差点の数は1つずつ多いことに気をつけます。
等差数列は、同じ数ずつふえる数の列です。例題1の図で、下から2行目は 1、2、3、4、5 と、ふえる数が1の等差数列です。下から3行目の 1、3、6、10、15 は、ふえる数が2、3、4、5と1ずつ大きくなります。表に書いた数のならびに、規則が見つかります。
子どもがつまずきやすいポイント
1. 区画の数と交差点の数をとりちがえる
例題1で、交差点が横に5つ・たてに4つならんでいるのを見て、横5区画・たて4区画の碁盤として数え、126通りとしてしまうまちがいです。 進む回数は、交差点の数ではなく区画の数（右に4回・上に3回）です。A から B までの道を、指で1区画ずつたどって数えてみましょう。
2. 必ず通る点で、たしてしまう
例題2で、A から P までの3通りと、P から B までの6通りをたして、3 ＋ 6 ＝ 9通りとしてしまうまちがいです。 「A から P まで」と「P から B まで」は続けて進むので、かけ算です。「A から P までの1つ目の行き方のあとに、続きは何通り？」と聞いてみてください。
3. 通れない道を引き忘れる
例題3で、通れない道があることを使わずに、ふつうの碁盤と同じように数を書きこんで、20通りとしてしまうまちがいです。 数を書く前に、通れない道に×を大きく書きこみ、その道の先の交差点では「×の道から来る数はたさない」と確かめてから進めます。
4. 端の1を書き忘れる
いちばん下の行やいちばん左の列に1を書かないまま、たし算を始めてしまうまちがいです。例題1で、いちばん下の行の1を書き忘れて0のつもりでたすと、B は15になってしまいます。 端の交差点は、まっすぐ進むしかないので1です。最初に、はしの行と列に1を全部書いてから、たし算を始めましょう。
家での教え方
小さな碁盤で、書き出してから確かめる
最初は、横2区画・たて2区画くらいの小さな碁盤で、道順を「右右上上」のように全部書き出してもらいましょう。6通り書き出せたら、同じ碁盤で足し算の方法を使って、B に6が書けることを確かめます。 書き出した数と、たし算の数が合うことがわかると、足し算の方法を安心して使えるようになります。
「ここへは、どこから来られる？」と聞く
交差点を1つ指さして、「ここへは、どこから来られる？」と聞いてみてください。「左からと、下から」と答えられれば、左の数と下の数をたす理由を自分のことばで説明できます。 通れない道があるときも、同じ質問で「左からは来られない」と気づけます。
シミュレーターで、1つずつ書きこむ
シミュレーターの「たいけん」のタブでは、「1つ 書く」のボタンを押すたびに、交差点に数が1つずつ書きこまれ、もとになる左の数と下の数が強調されます。ふつうの碁盤・通れない道あり・必ず通る点ありを切りかえて、数の書き方のちがいを見くらべられます。 お子さんと一緒に、次の交差点の数を先に予想してから、ボタンで確かめてみてください。「もんだい」のタブで、いろいろな碁盤の道順を数えてみるのもおすすめです。
この記事とシミュレーターで扱っていない問題
この記事とシミュレーターでは、平らな碁盤の目の道を、右と上にだけ進む問題にしぼっています。次のような問題も、交差点ごとに来られる道の数をたす考え方で数えます。
- 立体の道順：箱の形の道では、左・下に加えて、手前からも来られるので、3つの数をたします
- ななめの道がある問題：右上へのななめの道があれば、左ななめ下の交差点の数もたします
- 通れない道が多い問題：通れない道が何本あっても、その道から来る数をたさないことは同じです
まとめ
- 道順の問題は、碁盤の目の道を、右か上にだけ進んで A から B まで行く道順が何通りあるかを数える問題
- ある交差点へは、左か下からしか来られないので、そこまでの行き方は「左の数＋下の数」。いちばん下の行といちばん左の列は1
- 必ず通る点があるときは、A から P までの数 × P から B までの数（たし算ではなくかけ算）
- 通れない道があるときは、その道から来る数をたさない。ふつうの数から、その道を通る数を引いてもよい
- 進む回数は区画の数。交差点の数ととりちがえない
まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に交差点に1つずつ数を書きこんで、B の数が答えになるところを確かめてみてください。
道順の
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