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方陣算とは？ 4つに分けて数えるとわかる解き方と教え方
方陣算は、ご石などを正方形にならべたときの数を考える特殊算です。 いちばん大切なのは、外側の1周を「かどを1つずつふくむ4つ」に分けて数えることです。4つに分けると、かどを2回数えるまちがいがなくなり、1辺の数と外側の数を行き来できます。
このページの上にあるシミュレーターでは、ご石を正方形にならべて、外側の1周を4つに分けて数える流れを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、方陣算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。
方陣算で使う言葉
| 言葉 | 意味 |
|---|---|
| 1辺 | 正方形の1つの辺にならぶご石のこ数。かどのご石もふくむ |
| 外側の1周 | いちばん外側にならぶご石。1辺が6こなら、まわりをぐるっと1周した分 |
| 全部 | 正方形にならぶご石のすべて。中がつまっているときは、1辺 × 1辺 |
| はば | 中がからの正方形で、外側から何列ならべたか |
「かどを1つずつふくむ4つに分ける」
外側の1周を数えるとき、「1辺が6こだから、6 × 4 ＝ 24こ」と考えたくなります。ところが、これはかどのご石を2回ずつ数えているので、正しくありません。かどのご石は、となりあう2つの辺の両方に入っているからです。
そこで、かどのご石を1つずつふくむように、外側の1周を4つに分けます。1つのグループは、1辺のご石から、かどを1つ引いた数です。
| わかっているもの | 求めるもの | 考え方 |
|---|---|---|
| 1辺 | 外側の1周 | （1辺 − 1）× 4 |
| 外側の1周 | 1辺 | 外側の1周 ÷ 4 ＋ 1 |
| 1辺 | 全部（中がつまった正方形） | 1辺 × 1辺 |
例題1：1辺から数える
ご石を、1辺に6こずつ、中までぎっしり正方形の形にならべます。いちばん外側の1周には、ご石は何こありますか。また、ご石は全部で何こありますか。
- 外側の1周を4つに分ける：かどを1つずつふくむように分けると、1つ分は 6 − 1 ＝ 5こ
- 4つ分を合わせる：（6 − 1）× 4 ＝ 20こ
- 全部を出す：たてにもよこにも6こならんでいるので、6 × 6 ＝ 36こ
答えは、外側の1周が20こ、全部で36こです。 6 × 4 ＝ 24こと数えると、かどの4こを2回ずつ数えています。24 − 4 ＝ 20こで、4つに分けた答えと合います。
例題2：外側の数から1辺を求める
ご石を、中までぎっしり正方形の形にならべます。いちばん外側の1周は32こでした。1辺には何こならびますか。また、ご石は全部で何こありますか。
今度は、逆にたどります。
- 外側の1周を4つに分ける：32 ÷ 4 ＝ 8こ。1つのグループは8こ
- 1辺を出す：1つのグループには、かどのご石が1つだけふくまれています。1辺は、1つ分にかどをもう1つたして 8 ＋ 1 ＝ 9こ
- 全部を出す：9 × 9 ＝ 81こ
答えは、1辺が9こ、全部で81こです。 検算は、1辺が9こなら、外側の1周は（9 − 1）× 4 ＝ 32こになります。問題の数と合います。
例題3：中がからの正方形
ご石を、1辺に8こずつ、外側から2列だけ正方形の形にならべます。中は空いています。ご石は全部で何こありますか。
中がからの正方形は、中までならべた大きな正方形から、空いたところの正方形を引くと考えます。
- 空いたところの1辺を出す：左右にはばの2列ずつ（2 × 2 ＝ 4こ）があるので、8 − 4 ＝ 4こ。空いたところは 4 × 4 ＝ 16こ分
- 外の正方形から引く：中までならべた外の正方形は 8 × 8 ＝ 64こ分。64 − 16 ＝ 48こ
答えは48こです。
別の数え方もあります。外側の1周を1列ずつ数えて、たします。外側の1周は（8 − 1）× 4 ＝ 28こ。その内側の1周は、1辺が 8 − 2 ＝ 6こなので（6 − 1）× 4 ＝ 20こ。28 ＋ 20 ＝ 48こになります。 また、はばの2列を「4つの長方形」に分ける方法もあります。1つの長方形は、たて（8 − 2）こ、よこ2列で、（8 − 2）× 2 × 4 ＝ 48こです。どの数え方でも、同じ48こになります。
植木算・周期算とのつながり
植木算では、池のまわりのように ぐるっと1周する場合、間の数と木の本数が同じになります。方陣算の外側の1周も同じです。外側の1周が20こなら、ご石とご石の間も20か所です。 また、周期算は、くり返しのまとまりで数える特殊算です。方陣算でも、外側の1周を「かどを1つずつふくむ4つ」に分けて、同じ数のグループで数えます。まとまりに分けて数えるところが共通しています。
この記事とシミュレーターで扱っていない問題
シミュレーターでは、次の形は扱っていませんが、同じ「分けて数える」考え方につながります。
- ご石が余る・足りない形：たとえば、1辺が6こ（全部で36こ）の正方形を、1辺を1こふやして7この正方形にするには、あと何こ必要か。ふやす分は（1辺 × 2 ＋ 1）こで、6 × 2 ＋ 1 ＝ 13こ。検算は、7 × 7 − 6 × 6 ＝ 49 − 36 ＝ 13こです
- 長方形・三角形のならび：外側の1周の数え方は、同じようにかどを2回数えない工夫をしますが、ここでは扱いません
子どもがつまずきやすいポイント
1. かどのご石を2回数える
例題1で、6 × 4 ＝ 24こと答えてしまうまちがいです。かどのご石は、となりあう2つの辺の両方に入っています。 「かどのご石は、どの辺に入っているかな？」と聞いて、4つのグループにかどが1つずつ入っていることを図で確かめましょう。
2. 外側の数を4でわって、1をたし忘れる
例題2で、32 ÷ 4 ＝ 8こを、そのまま1辺の答えにしてしまうまちがいです。 8こは、かどを1つずつふくむ1つのグループです。1辺には、もう1つのかどのご石が入るので、8 ＋ 1 ＝ 9こになります。
3. 外側の1周と全部を取りちがえる
例題1で、聞かれているのは外側の1周なのに、6 × 6 ＝ 36こを答えてしまう、または全部を聞かれているのに20こを答えてしまうまちがいです。 問題が聞いているのは、外側の1周か、全部か、あらためて読みましょう。
4. 中がからの正方形で、空いたところの1辺をまちがえる
例題3で、空いたところの1辺を 8 − 2 ＝ 6ことしてしまうまちがいです。はばは、左と右、上と下の両側にあるので、引くのは 2 × 2 ＝ 4こです。 この考え方で計算すると、8 × 8 − 6 × 6 ＝ 28こになり、正解の48ことはちがいます。
5. 答えを確かめない
答えを出したら、別の数え方で確かめる習慣をつけましょう。外側の1周から全部を出した問題は、1辺にもどして（1辺 − 1）× 4 を計算し直すと確かめられます。
家での教え方
「かどのご石はどこに入る？」と聞く
問題を見たら、まず図をかいて、「かどのご石は、どの辺に入っているかな？」と聞いてみましょう。 かどを1つずつふくむように4つに色分けすると、1つのグループが（1辺 − 1）こであることが見えてきます。
ご石を1こずつかく
小さな数（1辺が4こや5こ）で、実際にご石をかいてもらいましょう。外側の1周を数えて、（1辺 − 1）× 4 と合うか確かめると、式の意味がつかめます。
シミュレーターで数え方を確かめる
シミュレーターの「たいけん」のタブでは、1辺のこ数を変えたり、「外側の 1周を 4つに 分ける」ボタンをおしたりして、外側の1周の数え方を確かめられます。 お子さんと一緒に、「外側は何こになりそう？」と先に予想してから、確かめてみてください。
まとめ
- 方陣算は、ご石を正方形にならべたときの数を考える。外側の1周を、かどを1つずつふくむ4つに分けて数える
- 外側の1周は（1辺 − 1）× 4、全部は1辺 × 1辺。外側の1周から1辺を出すときは、外側の1周 ÷ 4 ＋ 1
- 中がからの正方形は、外の正方形から、空いたところの正方形を引く。別の数え方でも確かめられる
- 答えは、1辺と外側の数を行き来して確かめる
まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に、外側の1周を4つに分けて数える流れを見てみてください。
方陣算の
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