集合算しゅうごうざん

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集合算とは？ ベン図でわかる解き方と教え方

集合算は、2つの集まりが重なっているとき、それぞれの人数や、重なっている人数を考える特殊算です。 いちばん大切なのは、ベン図で、全体を4つの部分に分けて書くことです。4つの部分のどこの人数がわかっていて、どこを求めるのかが見えると、式が立てやすくなります。

このページの上にあるシミュレーターでは、クラスの人に「犬が好きか」「ねこが好きか」を聞いた場面を題材に、ベン図に人数を書きこみながら解く流れを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、集合算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

集合算で使う言葉

「ベン図で、4つの部分に分ける」

長方形がクラス全体、左の円が犬が好きな人、右の円がねこが好きな人です。2つの円が重なるところが、両方好きな人です。 全体の人は、次の4つの部分のどれか1つに入ります。

犬だけ ＋ ねこだけ ＋ 両方 ＋ どちらも好きでない ＝ 全体

また、犬が好きな人の中には「両方」の人も入っています。

例題1：どちらも好きでない人

クラスは40人です。犬が好きな人は25人、ねこが好きな人は18人、両方好きな人は10人います。どちらも好きでない人は何人ですか。

1. 犬とねこをたす：25＋18＝43人。でも、両方好きな10人は、犬の25人にも、ねこの18人にも入っていて、2回数えられている
2. 両方を1回ひく：43−10＝33人。これが、犬かねこの少なくとも一方は好きな人
3. 全体からひく：40−33＝7人

答えは、どちらも好きでない人が7人です。4つの部分を書いて足すと、15＋8＋10＋7＝40人になり、全体と合います。

例題2：両方好きな人

クラスは40人です。犬が好きな人は25人、ねこが好きな人は18人、どちらも好きでない人は7人います。両方好きな人は何人ですか。

例題1と逆に、「どちらも好きでない人」がわかっています。

1. 全体からひく：40−7＝33人。これが、犬かねこの少なくとも一方は好きな人
2. 犬とねこをたす：25＋18＝43人。両方好きな人は2回数えられている
3. 2回数えたぶんを求める：43−33＝10人

43人は33人より10人多く、この10人が2回数えられた両方好きな人です。

例題3：どちらか一方だけ好きな人

犬が好きな人は25人、ねこが好きな人は18人、両方好きな人は10人います。犬かねこの一方だけ好きな人は何人ですか。

この問題は、全体の人数がわかりません。それでも、犬が好きな人の中から両方をひけば、犬だけがわかります。

1. 犬だけを求める：25−10＝15人
2. ねこだけを求める：18−10＝8人
3. 一方だけを求める：15＋8＝23人

「25＋18＝43人」から「両方を2回ひく」（43−10×2＝23人）と考えても同じ答えです。一方だけには、両方の人は入らないので、犬の側とねこの側から1回ずつひきます。

2×2の表で整理する

ベン図のかわりに、「犬が好きか」「ねこが好きか」で、たてとよこに分ける表でも整理できます。例題1と同じ数を入れると、次のようになります。

表のよいところは、たて・よこの合計が、わかっている人数とつながることです。犬が好きな人の合計は、10＋15＝25人。ねこが好きな人の合計は、10＋8＝18人。全体は、25＋15＝40人です。 わからない部分があれば、その行か列の合計から、ひき算で求められます。

他の単元とのつながり

和差算は、2つの数の和と差から、それぞれの数を求める問題です。集合算も、「犬＋ねこ」のように2つを合わせた数から、重なりをひいて、本当の人数を出します。合わせた数と、ちがいを見くらべる点が似ています。

消去算は、2つの式をひき算して、片方の種類を消す問題です。集合算では、2回数えたぶんの「重なり」を見つけて、1回ひくことで、数のずれを直します。「そろえて、ひく」「重なりを見つけて、ひく」という考え方は、どちらにも出てきます。

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

次の形は、このページでは扱っていません。

• 3つの集まり：犬・ねこ・うさぎのように、集まりが3つになる問題。ベン図は円が3つになります
• 最大・最小を聞く形：「両方好きな人は、最も多くて何人か」のように、人数が1つに決まらない問題

子どもがつまずきやすいポイント

1. 両方をひき忘れる

例題1で、25＋18＝43人を、そのまま「少なくとも1つ好きな人」としてしまうまちがいです。 すると、40−43で、全体より多くなってしまいます。両方の10人は2回数えられているので、1回ひく必要があります。

2. 両方を2回ひいてしまう

例題1で、25＋18−10×2＝23人としてしまい、40−23＝17人と答えるまちがいです。 2回数えたぶんを直すには、1回ひけば足ります。2回ひくのは、例題3のように「一方だけ」を求めるときです。

3. 「少なくとも1つ好きな人」を答えにしてしまう

例題1で、25＋18−10＝33人で止まってしまうまちがいです。 33人は、どちらかは好きな人です。問題が聞いているのは、どちらも好きでない人なので、全体の40人から、もう1回ひきます。

4. 「犬が好き」の中に「両方」が入っていることを忘れる

「犬が好きな人が25人」は、「犬だけ」の人数ではありません。両方の10人も入っています。 犬だけを求めるときは、25−10＝15人のように、両方をひきます。

5. 答えを確かめない

4つの部分の人数を足して、全体と合うか確かめる習慣をつけましょう。例題1なら、15＋8＋10＋7＝40人です。

家での教え方

4つの部分を先に書く

問題を読んだら、先に長方形と2つの円をかいて、「犬だけ」「両方」「ねこだけ」「どちらでもない」の場所を書きこんでもらいましょう。 わかっている人数を書き、求めるところを「？」にすると、何がわからないのかが見えます。

「ここは何回数えている？」と聞く

犬の人数とねこの人数をたしたとき、2回数えている部分はどこかを聞いてみましょう。「両方のところ」と答えられれば、1回ひく理由がわかっています。

シミュレーターで人数を動かす

シミュレーターの「たいけん」のタブでは、人数を変えると、ベン図の4つの部分がどう変わるかを見られます。 お子さんと一緒に、「両方を増やしたら、犬だけはどうなる？」と先に予想してから、確かめてみてください。

まとめ

• 集合算は、2つの集まりが重なっているとき、人数や重なりの人数を考える特殊算。ベン図で、全体を4つの部分に分けて書く
• 犬とねこをたすと、両方の人は2回数えられる。少なくとも1つ好きな人は、犬＋ねこ−両方
• どちらも好きでない人は、全体−少なくとも1つ好きな人。一方だけは、犬だけ＋ねこだけ
• 答えは、4つの部分を足して全体と合うか確かめる

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に、ベン図に人数を書きこむ流れを見てみてください。

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最終更新日: 2026/10/14