ならべ方かた

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ならべ方とは？ 樹形図をかいて、かけ算で数えるわけ

ならべ方の問題は、ちがうものを一列にならべる方法が何通りあるかを数える問題です。 いちばん大切なのは、樹形図をかいて、どの枝からも同じ数ずつ分かれることを確かめ、かけ算で数えることです。

このページの上にあるシミュレーターでは、樹形図を1本ずつかきながら、先頭がちがっても同じ数ずつならび方があることを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、ならべ方の数え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

ならべ方とは

ならべ方の問題は、人やカードなど、ちがうものを一列にならべる方法が何通りあるかを数えます。ならべる順番がちがえば、別のならび方として数えます。A・B の2人なら、「AB」と「BA」は別のならび方です。

数がふえると、思いついた順に書き出すだけでは、もれたり、同じものを2回数えたりしやすくなります。もれなく・重なりなく数えるために、樹形図をかきます。

樹形図をかいて、かけ算で数える

樹形図は、1番目に置くものから順に枝を分けてかきます。1番目で使ったものは、2番目には置けません。

樹形図をかくと、どの枝からも、同じ数ずつ枝が分かれることがわかります。1番目に A を置いても B を置いても、2番目に置けるのは、のこりの同じ人数だからです。

だから、葉の数は「1番目の数 × 2番目の数 × 3番目の数 × …」のかけ算で数えられます。樹形図を最後までかかなくても、場所ごとに置けるものの数がわかれば、答えが出ます。

例題1：全部ならべる

A・B・C・D の4人が、一列にならびます。ならび方は何通りありますか。

1. 1番目：4人のだれでもよいので、4通り
2. 2番目：1番目の人をのぞいた3人から、3通り
3. 3番目：のこりの2人から、2通り
4. 4番目：のこりの1人で、1通り
5. かけ算：4 × 3 × 2 × 1 ＝ 24。24通り

A が先頭のならび方は、図のように 3 × 2 × 1 ＝ 6通りです。B・C・D が先頭のときも、のこりの3人のならび方は同じ6通りずつあります。先頭は4通りなので、4 × 6 ＝ 24通りで、かけ算の答えと合います。

ページ上部のシミュレーターの「たいけん」のタブでは、4人のならび方の樹形図を1本ずつかきながら、A が先頭の6本のあと、B・C・D が先頭でも同じ6本ずつになることを確かめられます。

例題2：えらんでならべる

A・B・C・D・E の5人から、委員長・副委員長・書記を1人ずつえらびます。えらび方は何通りありますか。

委員長・副委員長・書記を、1番目・2番目・3番目の場所と考えると、5人から3人をえらんで一列にならべるのと同じです。A が委員長で B が副委員長のときと、B が委員長で A が副委員長のときは、別のえらび方です。

1. 委員長：5人のだれでもよいので、5通り
2. 副委員長：委員長をのぞいた4人から、4通り
3. 書記：のこりの3人から、3通り
4. かけ算：5 × 4 × 3 ＝ 60。60通り

えらぶのは3人なので、かける数も3つです。葉が60本になる樹形図を全部かくのは大変ですが、どの枝からも同じ数ずつ分かれることがわかっていれば、かけ算だけで数えられます。

例題3：数字カードで整数を作る

1・2・3・4 の4まいのカードから3まいをならべて、3けたの整数を作ります。整数は何こできますか。

百の位・十の位・一の位を、1番目・2番目・3番目の場所と考えます。百の位は4通り、十の位は3通り、一の位は2通りで、4 × 3 × 2 ＝ 24。24こです。

次は、カードに0が入るときです。

0・1・2・3 の4まいのカードから3まいをならべて、3けたの整数を作ります。整数は何こできますか。

1. 百の位：0 は百の位に置けない（012 は3けたの整数ではなく、12）。1・2・3 のどれかで、3通り
2. 十の位：百の位で使ったカードをのぞいた3まい（0 も使える）から、3通り
3. 一の位：のこりの2まいから、2通り
4. かけ算：3 × 3 × 2 ＝ 18。18こ

0 を百の位に置いたものまで数えると、4 × 3 × 2 ＝ 24こです。そのうち、0 が百の位のもの（012・013 など）は 3 × 2 ＝ 6こあるので、24 − 6 ＝ 18こと考えても、同じ答えになります。

例題4：となりあうならべ方

A・B・C・D の4人が、一列にならびます。A と B がとなりあうならび方は何通りありますか。

1. A と B をまとめる：となりあう A と B を、1つのかたまり（AB）と見る。ならべるものは、かたまり・C・D の3つ
2. 3つをならべる：3 × 2 × 1 ＝ 6通り
3. かたまりの中の入れかえ：かたまりの中は AB と BA の2通り
4. かけ算：6 × 2 ＝ 12。12通り

AB の順のならび方は、ABCD・ABDC・CABD・DABC・CDAB・DCAB の6通りです。それぞれ AB を BA にした6通りもあるので、合わせて12通りです。

4つの例題をくらべる

どの例題も、場所ごとに置けるものの数を出して、かけ算することは同じです。条件があるときは、条件のある場所（0 を置けない百の位など）から先に考えるか、条件に合うようにまとめて（AB のかたまり）から数えます。

道順・いもづる算・集合算とのつながり

道順の記事の例題2では、A から P までの3通りのどれを選んでも、P から B までの行き方が6通りずつあるので、3 × 6 ＝ 18通りとかけ算で数えました。樹形図で、どの枝からも同じ数ずつ分かれるときにかけ算で数えるのと、同じ考え方です。数え方を図にして、もれなく数える点も共通しています。

いもづる算では、表に書き出して、条件に合う組を全部さがします。樹形図も、A・B・C・D のように順番を決めて書き出すので、もれや重なりが出にくくなります。どちらも、書き出し方の順番を決めておくことが大切です。

集合算では、2つの集まりが重なっているとき、重なりを1回ひいて人数を出します。ならべ方でも同じことが起こります。4人一列で、A が先頭のならび方は6通り、B が一番うしろのならび方も6通りです。「A が先頭か、B が一番うしろ」のならび方は、A が先頭で B が一番うしろ（ACDB・ADCB）の2通りを2回数えているので、重なりを1回ひいて 6 ＋ 6 − 2 ＝ 10通りです。

子どもがつまずきやすいポイント

1. かけずにたしてしまう

例題3の前半（1・2・3・4 のカードで3けた）で、百の位の4通り・十の位の3通り・一の位の2通りをたして、4 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 9こ としてしまうまちがいです。 百の位の4通りのどれにも、十の位の3通りが続きます。「百の位が1のとき、十の位は何通り？」と聞いて、樹形図で枝が分かれる様子を確かめると、かけ算になる理由がわかります。

2. えらぶ数より多くかけてしまう

例題2で、5人全部をならべるときのように 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120通り としてしまうまちがいです。 えらぶのは委員長・副委員長・書記の3人なので、場所は3つで、かける数も3つです。かける前に、場所がいくつあるかを数えましょう。

3. 0 を百の位に置いてしまう

例題3の後半で、0 を百の位にも置いて、4 × 3 × 2 ＝ 24こ としてしまうまちがいです。 012 は3けたの整数ではありません。カードに 0 があるときは、まず「百の位に置けるのはどれ？」と、百の位から先に決めます。

4. AB と BA の入れかえを忘れる

例題4で、AB のかたまりと C・D のならび方の6通りだけを答えて、6通り としてしまうまちがいです。 かたまりの中には、AB と BA の2通りがあります。ABCD と BACD のように、実際に書いてくらべると、どちらも A と B がとなりあっていることがわかります。

家での教え方

小さな数で、樹形図を最後までかく

最初は、A・B・C の3人くらいで、樹形図を最後までかいてもらいましょう。葉が6本かけたら、3 × 2 × 1 ＝ 6 のかけ算と同じになることを確かめます。 樹形図の数と、かけ算の数が合うことがわかると、大きな数のときもかけ算を安心して使えるようになります。

「先頭が A のとき、何通り？」と聞く

樹形図をかきかけたところで、「先頭が A のとき、何通り？」「では、先頭が B のときは？」と聞いてみてください。「どちらも同じ数」と気づけると、かけ算で数える理由を自分のことばで説明できます。

シミュレーターで、樹形図を1本ずつかく

シミュレーターの「たいけん」のタブでは、「1本 かく」のボタンを押すたびに、樹形図にならび方が1つずつかき足されます。「1番目が かわるまで かく」のボタンでは、先頭が同じまとまりを一度にかけます。4人をならべる・旗をえらんでならべる・カードで3けたの整数を作る、の3つを切りかえられます。 お子さんと一緒に、次の先頭のまとまりが何本になるかを先に予想してから、ボタンで確かめてみてください。「ときかた」のタブでは、場所ごとに置ける数を順に見られ、「もんだい」のタブでは、いろいろなならべ方の問題を解けます。

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

この記事とシミュレーターでは、ちがうものを一列にならべる問題にしぼっています。次のような問題は、数え方が少し変わります。

• えらぶだけで、順番を考えない問題：5人から当番を3人えらぶだけなら、同じ3人の組を、ならぶ順番の数だけ重ねて数えないようにします
• 同じものをふくむならべ方：道順の「右右上上」のように同じものが入ると、入れかえても同じならびになるので、かけ算だけでは数えられません
• 円にならべる問題：回して同じになるならびは、1つと数えます
• 同じ数字を何度使ってもよい問題：前の場所で使ったものも使えるので、どの場所も同じ数ずつ置けます

保護者の方へ：高校の数学では、えらんでならべる数を「順列」（記号 P）、えらぶだけの数を「組み合わせ」（記号 C）とよびます。この記事では記号を使わず、樹形図とかけ算で数えます。

まとめ

• ならべ方の問題は、ちがうものを一列にならべる方法が何通りあるかを数える問題。もれなく・重なりなく数えるために樹形図をかく
• 樹形図は、どの枝からも同じ数ずつ分かれるので、「1番目の数 × 2番目の数 × …」のかけ算で数えられる
• えらんでならべるときは、えらぶ数（場所の数）だけかける
• 0 のカードは百の位に置けない。条件のある場所から先に決める
• となりあうものは1つのかたまりと見て、かたまりの中の入れかえ（×2）を忘れない

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に樹形図を1本ずつかいて、先頭がちがっても同じ数ずつならび方があることを確かめてみてください。

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最終更新日: 2026/10/31