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組み合わせとは？ ならべ方を、入れかえの数でわるわけ
組み合わせの問題は、いくつかのものから、順番を考えずにえらぶ方法が何通りあるかを数える問題です。 いちばん大切なのは、順番も考えたならべ方を先に数えてから、1つの組の中の入れかえの数でわることです。
このページの上にあるシミュレーターでは、ならべ方をカードにして、同じ組のカードを1つの束にまとめながら、わり算になるわけを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、組み合わせの数え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。
組み合わせとは
組み合わせの問題は、人や旗など、ちがうものの中からいくつかをえらぶ方法が何通りあるかを数えます。ならべ方とちがい、順番は考えません。A・B の2人をえらぶとき、「AB」と「BA」は同じえらび方として、1通りと数えます。
| 言葉 | 意味 |
|---|---|
| えらび方（組み合わせ） | 順番を考えずに、いくつかをえらぶ方法。AB と BA は同じ1通り |
| ならべ方 | えらんだものを、順番も考えてならべる方法。AB と BA は別の2通り |
| 入れかえの数 | 1つの組の中で、順番だけを入れかえたならべ方の数。2人なら AB・BA の2通り |
| 総当たり戦 | どのチームとも1回ずつ試合をすること |
えらぶ数がふえると、思いついた順に書き出すだけでは、もれたり、同じ組を2回数えたりしやすくなります。もれなく・重なりなく数えるために、ならべ方から考えます。
ならべ方を数えてから、入れかえの数でわる
組み合わせは、次の2つの手順で数えます。
- ならべ方を数える：順番も考えて、ならべ方と同じかけ算で数える
- 入れかえの数でわる：ならべ方の中には、えらんだものが同じで、順番だけがちがうものが入っている。1つの組の入れかえの数でわると、えらび方の数になる
どの組も、入れかえの数は同じです。入れかえの数は、えらんだものだけのならべ方なので、2人なら 2 × 1 ＝ 2通り、3人なら 3 × 2 × 1 ＝ 6通り、4人なら 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 24通りです。どの組も同じ数ずつ重なっているので、ならべ方 ÷ 入れかえの数 ＝ えらび方になります。
例題1：2人をえらぶ
A・B・C・D・E の5人から、当番を2人えらびます。えらび方は何通りありますか。
- ならべ方：1人目は5人のだれでもよいので5通り、2人目はのこりの4人から4通り。5 × 4 ＝ 20通り
- 入れかえの数：AB と BA は、ならべる順番がちがうだけで、えらんだ2人は同じ。2人の入れかえは 2 × 1 ＝ 2通り
- わり算：20 ÷ 2 ＝ 10。10通り
えらび方は、AB・AC・AD・AE・BC・BD・BE・CD・CE・DE の10通りです。ならべ方のカード20まいは、どの組も2まいずつ束になるので、20 ÷ 2 ＝ 10組です。
ページ上部のシミュレーターの「たいけん」のタブでは、5人から2人のならべ方のカード20まいを、「同じ 組を まとめる」のボタンで1組ずつ束にしていき、10組になることを確かめられます。
例題2：3人をえらぶ
A・B・C・D・E の5人から、当番を3人えらびます。えらび方は何通りありますか。
- ならべ方：5 × 4 × 3 ＝ 60通り
- 入れかえの数：A・B・C の3人の組なら、ABC・ACB・BAC・BCA・CAB・CBA の 3 × 2 × 1 ＝ 6通り
- わり算：60 ÷ 6 ＝ 10。10通り
例題1の2人をえらぶときと、同じ10通りになりました。3人をえらぶことは、えらばれずにのこる2人を決めることと同じだからです。A・B・C をえらべば D・E がのこり、A・B・D をえらべば C・E がのこります。えらぶ3人の組と、のこる2人の組は1つずつ組になるので、数も同じになります。
例題3：総当たり戦の試合の数
A・B・C・D・E・F の6チームが、どのチームとも1回ずつ試合をします（総当たり戦）。試合は全部で何試合ですか。
試合は、6チームから2チームをえらぶと1つ決まります。A対B と B対A は同じ試合です。
- ならべ方：6 × 5 ＝ 30
- 入れかえの数：2チームの入れかえは 2 × 1 ＝ 2
- わり算：30 ÷ 2 ＝ 15。15試合
1チームは、ほかの5チームと試合をします。5試合が6チーム分で 5 × 6 ＝ 30 ですが、A対B の試合は、A の5試合にも B の5試合にも入っていて、どの試合も2回数えています。だから2でわります。
例題4：円の周りの点を結ぶ
円の周りに A・B・C・D・E・F の6この点があります。どの3つの点も一直線上にはありません。
(1) 2つの点を結んで直線をひきます。直線は何本ひけますか。
(2) 3つの点を結んで三角形を作ります。三角形は何こできますか。
(1) 直線は、2つの点をえらぶと1本決まります。AB と BA は同じ直線です。
- ならべ方：6 × 5 ＝ 30
- わり算：2点の入れかえは2通りなので、30 ÷ 2 ＝ 15。15本
(2) 三角形は、3つの点をえらぶと1つ決まります。どの3つの点も一直線上にないので、えらんだ3点は必ず三角形になります。
- ならべ方：6 × 5 × 4 ＝ 120
- 入れかえの数：ABC・ACB・BAC・BCA・CAB・CBA は、どれも同じ三角形。3点の入れかえは 3 × 2 × 1 ＝ 6
- わり算：120 ÷ 6 ＝ 20。20こ
例題5：必ずえらぶ・えらばない
A・B・C・D・E の5人から、当番を3人えらびます。
(1) A を必ずえらぶとき、えらび方は何通りありますか。
(2) A をえらばないとき、えらび方は何通りありますか。
(1) A は必ず入るので、のこりの B・C・D・E の4人から2人をえらびます。4 × 3 ＝ 12、12 ÷ 2 ＝ 6。6通り（ABC・ABD・ABE・ACD・ACE・ADE）
(2) A をのぞいた B・C・D・E の4人から3人をえらびます。4 × 3 × 2 ＝ 24、24 ÷ 6 ＝ 4。4通り（BCD・BCE・BDE・CDE）
どの組も、A が入るか入らないかのどちらか一方です。だから、6 ＋ 4 ＝ 10通りは、例題2の5人から3人をえらぶ10通りと同じになります。条件つきの問題を解いたら、このように全体の数と合うかを確かめられます。
5つの例題をくらべる
| 例題 | えらぶもの | ならべ方 | 入れかえの数 | 答え |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5人から2人 | 5 × 4 ＝ 20 | 2 × 1 ＝ 2 | 10通り |
| 2 | 5人から3人 | 5 × 4 × 3 ＝ 60 | 3 × 2 × 1 ＝ 6 | 10通り |
| 3 | 6チームから2チーム | 6 × 5 ＝ 30 | 2 × 1 ＝ 2 | 15試合 |
| 4 (1) | 6この点から2点 | 6 × 5 ＝ 30 | 2 × 1 ＝ 2 | 15本 |
| 4 (2) | 6この点から3点 | 6 × 5 × 4 ＝ 120 | 3 × 2 × 1 ＝ 6 | 20こ |
| 5 (1) | A をのぞいた4人から2人 | 4 × 3 ＝ 12 | 2 × 1 ＝ 2 | 6通り |
| 5 (2) | A をのぞいた4人から3人 | 4 × 3 × 2 ＝ 24 | 3 × 2 × 1 ＝ 6 | 4通り |
人・チーム・点と、えらぶものがちがっても、ならべ方を数えて、入れかえの数でわることは同じです。試合・直線・三角形は「2チーム（2点・3点）をえらぶと1つ決まる」と言いかえると、えらぶ問題だとわかります。
ならべ方・道順・集合算とのつながり
ならべ方の記事の例題2では、5人から委員長・副委員長・書記をえらんで 5 × 4 × 3 ＝ 60通りでした。この記事の例題2も、同じ5人から3人をえらびますが、当番には役割がないので、同じ3人の組を6通りずつまとめて 60 ÷ 6 ＝ 10通りです。役割や順番があればならべ方、なければえらび方で、えらび方 ＝ ならべ方 ÷ 入れかえの数 の関係になっています。
道順の記事では、交差点ごとに、来られる道の数をたして数えました。
保護者の方へ：右に2・上に2 の道順は、4回進むうち、右に進む2回をえらぶのと同じなので、4 × 3 ÷ 2 ＝ 6通りになります。
集合算では、2つの集まりが重なっているとき、重なりを1回ひいて人数を出しました。例題5の「A を必ずえらぶ組」と「A をえらばない組」は、どの組もどちらか一方にだけ入り、重なりがありません。だから、ひかずに 6 ＋ 4 ＝ 10通りとたすだけで、全体の数になります。
子どもがつまずきやすいポイント
1. わるのを忘れる
例題1で、ならべ方の 5 × 4 ＝ 20通り を、そのまま答えにしてしまうまちがいです。 AB と BA を、別のえらび方として数えています。「AB と BA は、ちがう当番の組？」と聞いて、えらんだ2人が同じであることを確かめましょう。
2. 3でわってしまう
例題2で、3人をえらぶから3でわると考えて、60 ÷ 3 ＝ 20通り としてしまうまちがいです。 3人の入れかえは3通りではなく、ABC・ACB・BAC・BCA・CAB・CBA の 3 × 2 × 1 ＝ 6通りです。1つの組の入れかえを、実際に書き出してみると確かめられます。
3. 総当たり戦で ÷2 を忘れる
例題3で、6チームがそれぞれ5試合をするから 6 × 5 ＝ 30試合 としてしまうまちがいです。 A対B の試合は、A から見ても B から見ても1試合で、2回数えています。対戦表に書きこむと、同じ試合が2回出てくることがわかります。
4. 三角形で直線の数を答える
例題4の(2)で、直線の数の 15 を、三角形の数として 15こ と答えてしまうまちがいです。 直線は2つの点、三角形は3つの点をえらぶと決まります。「三角形は、点をいくつえらぶと決まる？」と、えらぶ数から確かめましょう。
家での教え方
小さな数で、カードを書き出して束にする
最初は、A・B・C・D の4人から2人をえらぶくらいで、ならべ方を AB・BA・AC・CA… と全部書き出してもらいましょう。4 × 3 ＝ 12まいのカードを、同じ2人の組ごとにまとめると、2まいずつの6組になり、12 ÷ 2 ＝ 6 のわり算と同じになります。 書き出した数と、わり算の数が合うことがわかると、大きな数のときもわり算を安心して使えるようになります。
「AB と BA は、同じ？ ちがう？」と聞く
問題を読んだら、まず「AB と BA は、同じ？ ちがう？」と聞いてみてください。委員長と副委員長のように役割があれば別、当番のように役割がなければ同じです。ここがはっきりすると、ならべ方の問題か、えらび方の問題かを自分で見分けられます。
シミュレーターで、カードを束にまとめる
シミュレーターの「たいけん」のタブでは、ならべ方のカードが全部ならんでいて、「同じ 組を まとめる」のボタンを押すたびに、同じ組のカードが1つの束にまとまります。「全部 まとめる」のボタンでは、のこりを一度にまとめられます。4人から2人・5人から2人・4人から3人の3つを切りかえられます。 お子さんと一緒に、束がいくつになるかを先に予想してから、ボタンで確かめてみてください。「ときかた」のタブでは、えらぶ・必ずえらぶ・えらばない・総当たり・直線・三角形の考え方を順に見られ、「もんだい」のタブでは、いろいろな組み合わせの問題を解けます。
この記事とシミュレーターで扱っていない問題
この記事とシミュレーターでは、ちがうものの中から、順番を考えずにえらぶ問題にしぼっています。次のような問題は、数え方が少し変わります。
- 同じものをふくむえらび方：同じ色のボールのように、区別できないものが入ると、組によって入れかえの数が変わるので、わり算だけでは数えられません
- グループに分ける問題：何人かをいくつかの組に分けるとき、組に名前がなければ、組どうしの入れかえでも同じ分け方になります
- 一直線上に3つ以上の点がある図形：一直線上にある3点をえらんでも三角形はできないので、その分をのぞいて数えます
保護者の方へ：高校の数学では、えらぶだけの数を「組み合わせ」とよび、記号 C を使って書きます。この記事では記号を使わず、ならべ方と入れかえの数のわり算で数えます。
まとめ
- 組み合わせの問題は、順番を考えずにえらぶ方法が何通りあるかを数える問題。AB と BA は同じ1通り
- ならべ方を数えてから、1つの組の入れかえの数でわる。入れかえの数は、2つなら 2 × 1、3つなら 3 × 2 × 1
- 5人から3人をえらぶ数は、のこる2人をえらぶ数と同じ
- 総当たり戦の試合・直線・三角形も、2チーム・2点・3点をえらぶ問題として数える
- 必ずえらぶものは先に入れ、えらばないものはのぞいてから数える。2つを合わせると全体の数になる
まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒にならべ方のカードを束にまとめて、束の数がわり算の答えと同じになることを確かめてみてください。
組み合わせの
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