てんびん算ざん

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てんびん算とは？ うでの長さと重さの比で、まぜたこさを出す

てんびん算は、こさのちがう2つの食塩水をまぜる問題を、天びんのつり合いに見立てて、比で解く方法です。 横の線をこさの数直線と見て、2つの食塩水を、それぞれのこさの位置につるしたおもり（重さは食塩水の重さ）と考えます。まぜたあとのこさが、天びんがつり合う支点です。

このページの上にあるシミュレーターでは、2つの食塩水の重さを変えて、支点（まぜたこさ）がどちらに動くかを確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、てんびん算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

てんびん算で使う言葉

こさ（%）は、食塩水全体のうち食塩がしめる割合です。こさそのものの考え方は、濃度算の記事でくわしく紹介しています。

基本：うでの長さの比は、重さの逆比

天びんは、左右の「重さ × うでの長さ」が同じになるところでつり合います。 そのため、うでの長さの比は、重さの比を逆にしたもの（逆比）になります。

• 重いほうのおもりに、支点が近くなる（重いほうのうでが短い）
• 2つの重さが同じなら、支点はまんなか

たとえば、重さの比が 2：3 なら、うでの長さの比は 3：2 です。 こさの差（2つのおもりのあいだ）を、この比で分ければ、支点の位置、つまりまぜたこさがわかります。

例題1：まぜたこさを求める

こさ4%の食塩水200gと、こさ9%の食塩水300gをまぜます。できた食塩水のこさは何%ですか。

1. 天びん図をかく：4%の位置に200g、9%の位置に300gのおもりをつるす
2. こさの差を出す：9−4＝5%。これを支点で2つのうでに分ける
3. うでの長さの比を出す：重さの比は 200：300＝2：3 なので、うでの長さの比は 3：2。4%のほうのうでは 5÷（3＋2）×3＝3%
4. 支点のこさを出す：4＋3＝7。7%

重い300gのほうに支点が近いので、9%のほうのうでが短く（2%）なっています。

例題2：まぜる重さを求める

こさ6%の食塩水300gに、こさ10%の食塩水を何gかまぜて、こさ7%の食塩水にします。10%の食塩水を何gまぜればよいですか。

1. 天びん図をかく：6%の位置に300g、10%の位置に重さのわからないおもりをつるし、支点を7%にする
2. うでの長さを出す：7−6＝1%、10−7＝3%
3. 重さの比を出す：うでの長さの比が 1：3 なので、重さの比は 3：1
4. 重さを出す：300gが3つ分なので、1つ分は 300÷3＝100。100g

例題1とは反対に、こんどは「うでの長さ」がわかっていて、そこから重さの比を出します。

例題3：水を加える

こさ8%の食塩水300gに水を加えて、こさ6%の食塩水にします。水を何g加えればよいですか。

水はこさ0%の食塩水と見て、天びん図の0%の位置につるします。

1. うでの長さを出す：8−6＝2%、6−0＝6%
2. 重さの比を出す：うでの長さの比が 2：6＝1：3 なので、重さの比は 3：1
3. 重さを出す：300÷3×1＝100。100g

例題4：合計から分ける

こさ5%の食塩水と、こさ12%の食塩水をまぜて、こさ8%の食塩水を700g作ります。5%の食塩水は何gいりますか。

1. うでの長さを出す：8−5＝3%、12−8＝4%
2. 重さの比を出す：うでの長さの比が 3：4 なので、重さの比は 4：3
3. 合計を比で分ける：700gを 4＋3＝7つに分けた4つ分なので、700÷7×4＝400。400g

12%の食塩水は 700−400＝300g です。

濃度算の面積図とのつながり

てんびん算は、濃度算で使う面積図（横が食塩水の重さ、たてがこさ）と同じことを、別の形でかいたものです。 天びん図の「重さ × うでの長さ」は、面積図で、まぜたこさの線より下でたりない部分（へこみ）と、線より上にはみ出した部分の面積にあたります。

例題1では、面積図のへこみは 200×（7−4）＝600、はみ出しは 300×（9−7）＝600 で、同じになります。天びんがつり合うことと、へこみとはみ出しの面積が同じになることは、同じ意味です。

どちらで解いても同じ答えになることは、食塩の重さで確かめられます。

• まぜる前の食塩：200×4÷100＝8g、300×9÷100＝27g。合わせて 8＋27＝35g
• まぜたあとの食塩：500gの7%で、500×7÷100＝35g

ほかの単元とのつながり

• 濃度算：同じ「2つの食塩水をまぜる」問題を、面積図で解きます。濃度算の記事でも、天びん図・比を使う解き方は、面積図でへこみとはみ出しの面積が同じになることを理解してから取り組むと、つながりがわかりやすい、と紹介しています
• 平均算：天びん図は、平均の考え方と同じです。平均算の記事の例（1組20人の平均70点、2組30人の平均80点で、全体の平均は76点）を天びん図にすると、うでの長さは 76−70＝6点 と 80−76＝4点 で、比は 3：2。人数の比 20：30＝2：3 の逆比になっています
• 損益算：こさの%は、損益算で使う割合（百分率）と同じ考え方です。「何をもとにした割合か」を確かめる習慣は、どちらにも役立ちます

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

シミュレーターでは、次の形は扱っていませんが、天びん図のおもりの置き方をくふうすれば考えられます。

• 食塩を加える：食塩は「こさ100%の食塩水」と見て、100%の位置につるします。8%の食塩水200gを20%にするには、うでの長さが 20−8＝12% と 100−20＝80% で、比は 3：20。重さの比は 20：3 なので、食塩は 200÷20×3＝30g
• 水を蒸発させる：「蒸発させたあとの食塩水に、蒸発した水をもどすと、もとの食塩水になる」と逆に考えます。8%の食塩水200gから水を蒸発させて10%にするとき、10%の食塩水と水（0%）をまぜて8%にする天びん図をかくと、うでの長さは 2% と 8% で、重さの比は 4：1。水は 200÷5×1＝40g
• 3つ以上をまぜる：2つずつ順にまぜて、1つずつ天びん図をかきます
• やりとりの問題：容器のあいだで食塩水をやりとりする問題は、「どれとどれをまぜたか」を1回ずつ分けて、天びん図をかきます
• 食塩水以外の天びん図：平均点（人数がおもり、平均点が位置）のように、「重さ」と「位置」にあたるものがあれば、同じ天びん図が使えます

子どもがつまずきやすいポイント

1. 比を逆にしてしまう

重さの比を、そのままうでの長さの比にしてしまうまちがいです。 例題1で、うでの長さの比を 2：3 にすると、4%のほうのうでは 5÷5×2＝2% になり、まぜたこさは6%になってしまいます。 「重いほうに支点が近い」と、天びん図の上で確かめましょう。重い300gのほうに支点が近ければ、9%のほうのうでが短いはずです。

2. 2つのこさの平均を答えてしまう

例題1で、（4＋9）÷2＝6.5% としてしまうまちがいです。 2つのこさをたして2でわった値になるのは、2つの重さが同じとき（支点がまんなかのとき）だけです。

3. うでの長さをそのまま答えてしまう

例題1で、4%のほうのうでの長さ 3% を、まぜたこさと答えてしまうまちがいです。 うでの長さは、支点までの「こさの差」です。まぜたこさは、小さいほうのこさにうでの長さをたした 4＋3＝7% です。

4. 水を天びん図にのせ忘れる

例題3のような水を加える問題で、水をおもりとしてつるさずに、手が止まってしまうことがあります。 水は「こさ0%の食塩水」なので、0%の位置につるします。0%の目もりから図をかくと、水のおもりの位置が見えてきます。

家での教え方

「どっちが重い？」と先に聞く

図をかいたら、計算の前に「どっちのおもりが重い？ 支点はどっちに近くなりそう？」と聞いてみましょう。 答えのだいたいの位置を先に予想しておくと、比を逆にしたときに「あれ、重いほうから遠くなっている」と気づきやすくなります。

ものさしとおもりで、つり合いを確かめる

ものさしの両はしに、数のちがうクリップなどをつるして、指で支えてつり合う位置をさがしてみると、「重いほうに支点が近い」ことを体で感じられます。

シミュレーターで重さを変えてみる

シミュレーターの「たいけん」のタブでは、AとBの重さを50gずつ変えて、支点（まぜたこさ）とうでの長さがどう動くかを見られます。 重さを同じにすると支点がまんなかに来ること、片方を重くすると支点がそちらに近づくことを、お子さんと一緒に確かめてみてください。「ときかた」のタブでは、例題1・例題2・例題4と同じ数で、解き方を1ステップずつ見られます。

まとめ

• てんびん算は、こさを横の数直線、食塩水の重さをおもり、まぜたこさを支点にした天びん図で解く
• うでの長さ（こさの差）の比は、重さの逆比。重いほうに支点が近い
• 水はこさ0%の食塩水として、天びん図にのせる
• 天びん図の「重さ × うでの長さ」は、濃度算の面積図のへこみ・はみ出しの面積にあたり、どちらで解いても同じ答えになる

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に重さを変えながら、支点がどちらに動くかを見てみてください。

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最終更新日: 2026/10/31