図形ずけいの移動いどう

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図形の移動とは？ 「辺が着く時刻」で区切って、重なりの横を読む

図形の移動は、図形が一定の速さで動くとき、止まっている図形と重なる部分の面積がどう変わるかを考える問題です。 この記事では、地面の上を右へ動く正方形 A と、止まっている長方形 B を考えます。横に時間、たてに重なる部分の面積をとったグラフは、0 → 上がる → 平ら → 下がる → 0 の台形の形になります。

このページの上にあるシミュレーターでは、1秒ずつ正方形を動かしながら、重なる部分とグラフの点が同時に動く様子を確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、図形の移動の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

図形の移動とは

この記事の正方形 A は、長方形 B の左にあり、右へ動きます。長方形 B のたては正方形の1辺より長いので、重なる部分のたては、いつも正方形の1辺と同じです。 グラフでは、次のところを読みます。

図形の移動の問題は、正方形の右の辺・左の辺が、長方形の左の辺・右の辺に着く時刻で区間に分けて考えるのが基本です。

基本の考え方

重なる部分は、たてが正方形の1辺、横が「重なる横の長さ」の長方形です。たては変わらないので、変わるのは重なる横の長さだけです。

それぞれの長さを速さでわると、グラフの折れ目の時刻になります。最初に4つの折れ目の時刻を出しておくと、「○秒後はどの区間か」がすぐに決まります。

例題1：面積を求める

1辺6cmの正方形 A が、横12cmの長方形 B に向かって、毎秒2cmで右へ動きます。はじめ、A の右の辺は B の左の辺から4cmはなれています。動きはじめてから4秒後、6秒後、10秒後の、重なる部分の面積は、それぞれ何cm²ですか。

1. 折れ目の時刻を出す：重なりはじめは 4 ÷ 2 ＝ 2秒後、全部重なるのは（4 ＋ 6）÷ 2 ＝ 5秒後、はみ出しはじめは（4 ＋ 12）÷ 2 ＝ 8秒後、重なりが終わるのは（4 ＋ 12 ＋ 6）÷ 2 ＝ 11秒後
2. 4秒後：2秒後から5秒後の間なので、重なりがふえているところ。A は 2 × 4 ＝ 8cm 進み、はなれの4cmをひいた 8 − 4 ＝ 4cm が重なる。面積は 6 × 4 ＝ 24。24cm²
3. 6秒後：5秒後から8秒後の間なので、全部重なっている。面積は 6 × 6 ＝ 36。36cm²
4. 10秒後：8秒後から11秒後の間なので、はみ出しているところ。A の左の辺は B の左の辺から 2 × 10 − 4 − 6 ＝ 10cm のところにあるので、重なる横は 12 − 10 ＝ 2cm。面積は 6 × 2 ＝ 12。12cm²

ページ上部のシミュレーターの「たいけん」のタブで、1秒ずつ正方形を動かすと、辺が着いたところでグラフが折れる様子を見られます。

例題2：時刻を求める

例題1と同じ正方形と長方形で、重なる部分の面積が12cm²になるのは、動きはじめてから何秒後と何秒後ですか。

1. 重なる横を出す：たては6cmなので、横は 12 ÷ 6 ＝ 2cm
2. 1回目（ふえるところ）：A の右の辺が B に2cm入るとき。A は 4 ＋ 2 ＝ 6cm 進むので、6 ÷ 2 ＝ 3。3秒後
3. 2回目（へるところ）：A の左の辺が B の右の辺の2cm手前に来るとき。A は 4 ＋ 12 ＋ 6 − 2 ＝ 20cm 進むので、20 ÷ 2 ＝ 10。10秒後

面積が平らなところ（36cm²）より小さければ、同じ面積になるときは、上がる区間と下がる区間に1回ずつあります。問題が1回目と2回目のどちらを聞いているかを、最初に確かめておきましょう。 2回目は、重なりが終わる11秒後から、2cmを進む時間 2 ÷ 2 ＝ 1秒 をもどして、11 − 1 ＝ 10秒後 と出すこともできます。

グラフの読み方

例題のグラフは、次の区間に分かれます。

• 0の区間（0〜2秒）：まだ重なっていないので、面積は0cm²
• 上がる区間（2〜5秒）：重なる横が1秒に2cmずつのびるので、面積は1秒に 6 × 2 ＝ 12cm² ずつふえる
• 平らな区間（5〜8秒）：全部重なっているので、面積は36cm²のまま
• 下がる区間（8〜11秒）：重なる横が1秒に2cmずつちぢむので、面積は1秒に12cm²ずつへる

上がる区間と下がる区間は、どちらも正方形の1辺6cmを進む時間（6 ÷ 2 ＝ 3秒）なので、グラフは左右が同じ形の台形になります。 平らな区間は（12 − 6）÷ 2 ＝ 3秒間、重なりはじめから終わるまでは（12 ＋ 6）÷ 2 ＝ 9秒間です。

グラフから正方形の1辺・速さを読む

反対に、グラフから図形の大きさや速さを読みとることもできます。平らなところの面積36cm²は正方形の面積なので、1辺は 6 × 6 ＝ 36 から6cmです。 上がる区間の 5 − 2 ＝ 3秒 で正方形は1辺ぶん進むので、速さは 6 ÷ 3 ＝ 2 で毎秒2cmです。

点の移動・水そうグラフ・ダイヤグラムとのつながり

点の移動も、グラフが「上がる・平ら・下がる」の形になります。点の移動では点がどの辺の上にいるか、図形の移動では辺がどこに着いたかで、区間に分けます。 水そうグラフも、形が変わる高さでグラフが折れます。どれも、折れ目が何を表すかを最初に確かめるのがコツです。

ダイヤグラムと同じく、図形がどこにいるかは 道のり ＝ 速さ × 時間 で出します。例題1の10秒後は、2 × 10 ＝ 20cm 進んでいます。

子どもがつまずきやすいポイント

1. はじめのはなれをひき忘れる

例題1の4秒後で、進んだ8cmをそのまま重なる横にして、6 × 8 ＝ 48cm² としてしまうまちがいです。平らなところの36cm²より大きくなるので、ありえない面積です。 はじめの4cmは、重なる前に進む長さです。図に「はなれ4cm」と書きこんでから考えましょう。

2. はみ出した部分を重なりにしてしまう

例題1の10秒後で、A の左の辺が B に入った10cmを使って、6 × 10 ＝ 60cm² としてしまうまちがいです。 重なっているのは、長方形の横12cmのうち、A の左の辺より右の 12 − 10 ＝ 2cm だけです。

3. 2回目を聞かれて、1回目を答える

例題2で、「2回目は何秒後」と聞かれているのに、先に出た3秒後を答えてしまうまちがいです。問題文の「1回目」「2回目」に線を引いてから解くと、取りちがえにくくなります。

4. 正方形の1辺の分を進み忘れる

例題2の2回目で、4 ＋ 12 − 2 ＝ 14cm として 14 ÷ 2 ＝ 7秒後 としてしまうまちがいです。7秒後はまだ全部重なっている時刻です。 はみ出すのは正方形の左の辺なので、正方形の1辺6cmの分も進みます。

家での教え方

折れ目の時刻を、先に4つ書きこむ

最初は、式より先に「2秒・5秒・8秒・11秒」と、辺が着く時刻を図の横に書きこみます。4つの時刻がわかると、「○秒後はどの区間か」がすぐに決まります。

時間ごとの面積を、表にしてグラフにかく

この表の点を方眼紙に打ってつなぐと、例題のグラフ（台形の形）になります。

シミュレーターで、重なりとグラフを見くらべる

シミュレーターの「たいけん」では、1秒ずつ正方形を動かすたびに、重なる部分とグラフの点が同時に動きます。「もんだい」のタブで、面積や時刻を求める問題を解いてみるのもおすすめです。

この記事とシミュレーターで扱っていない問題

この記事とシミュレーターでは、正方形が長方形に重なり、重なる面積が直線で変わる問題にしぼっています。次のような問題も、「辺が着く時刻」で区間に分けて考えるのは同じです。

• 三角形や台形が動く問題：重なる部分の面積が、時間とともに曲線のように変わります
• 回転する図形の問題：回る角度で区間に分けて考えます
• 2つの図形がどちらも動く問題：近づく速さ（速さの和や差）で考えます
• L字の図形の問題：重なる部分の形が、とちゅうで変わります
• 正方形の1辺が長方形の横より長い問題：全部重なることはなく、長方形が正方形の中に入る区間ができます

まとめ

• 図形の移動は、動く図形と止まっている図形が重なる部分の面積の変化を考える問題。グラフは横が時間、たてが面積
• 重なる部分のたては正方形の1辺で変わらない。変わるのは重なる横の長さ
• 最初に、辺が着く4つの時刻を出して、区間に分ける
• グラフは、0・上がる・平ら・下がるの区間で、台形の形になる
• 時刻を求めるときは、1回目か2回目かを確かめ、はなれや正方形の1辺の分も進むことを忘れない

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に1秒ずつ正方形を動かして、グラフが折れるところを確かめてみてください。

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最終更新日: 2026/10/31