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水そうグラフとは？ 「区間に分けて、水の量÷1分の量」で折れ目を読む
水そうグラフは、水そうに一定の割合で水を入れたときの、時間と水の深さの関係をグラフで考える問題です。 横に時間、たてに水の深さをとると、グラフは何本かのまっすぐな線をつないだ折れ線になります。線が折れるのは、水が入る部分の底面積が変わるところです。
このページの上にあるシミュレーターでは、1分ずつ水を入れながら、水そうの水面が上がる様子と、グラフの線がのびていく様子を同時に確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、水そうグラフの考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。
水そうグラフとは
水そうグラフでは、グラフの次のところを読みます。
| グラフのところ | 表しているもの |
|---|---|
| 横（横の軸） | 水を入れはじめてからの時間（分） |
| たて（たての軸） | 水の深さ（cm） |
| 線のかたむき | 1分で上がる深さ（急なほど速く上がる） |
| 線が折れるところ | 水が入る部分の底面積が変わるところ |
| 線が平らなところ | 深さが変わらない＝ほかの部屋に水が入っている |
水は毎分同じ量ずつ入りますが、水が入る部分が広いと、水面はゆっくり上がります。せまいと速く上がります。 そのため、水そうの形が変わる高さで、グラフのかたむきが変わります。水そうグラフの問題は、形が変わるところで区間に分けて、区間ごとに考えるのが基本です。
基本の式
区間ごとに、次の3つの式を使います。
| 求めるもの | 式 |
|---|---|
| 入る水の量（cm³） | 横 × 奥行き × 高さ |
| かかる時間（分） | 入る水の量 ÷ 1分に入る水の量 |
| 1分で上がる深さ（cm） | 1分に入る水の量 ÷ 底面積（横 × 奥行き） |
水そうを正面から見た図では、奥行きは図にかかれていません。入る水の量には、奥行きもかけることを、最初に確かめておきましょう。
例題1：段のある水そう
下の段（横20cm・高さ10cm）の上に、上の段（横40cm・高さ15cm）が重なった水そうがあります。奥行きはどちらも10cmです。この水そうに、毎分500cm³の水を入れます。満水になるのは何分後ですか。また、水の深さが20cmになるのは何分後ですか。
- 区間に分ける：形が変わるのは、深さ10cm（下の段がいっぱいになるところ）。下の段と上の段の2つに分ける
- 下の段の時間：入る水の量は 20 × 10 × 10 ＝ 2000cm³。2000 ÷ 500 ＝ 4分
- 上の段の時間：入る水の量は 40 × 10 × 15 ＝ 6000cm³。6000 ÷ 500 ＝ 12分
- 満水になる時刻：4 ＋ 12 ＝ 16。16分後
- 深さ20cmになる時刻：上の段に 20 − 10 ＝ 10cm 入ればよい。40 × 10 × 10 ＝ 4000cm³ なので、4000 ÷ 500 ＝ 8分。4 ＋ 8 ＝ 12。12分後
1分で上がる深さを区間ごとに出すと、グラフのかたむきが変わる理由がわかります。
| 区間 | 底面積 | 1分で上がる深さ |
|---|---|---|
| 下の段（0〜4分） | 20 × 10 ＝ 200cm² | 500 ÷ 200 ＝ 2.5cm |
| 上の段（4〜16分） | 40 × 10 ＝ 400cm² | 500 ÷ 400 ＝ 1.25cm |
上の段は底面積が下の段の2倍なので、1分で上がる深さは半分になります。グラフは4分後で折れて、かたむきがゆるやかになります。 深さ20cmは、1分で上がる深さを使って、上の段の 10 ÷ 1.25 ＝ 8分 と出すこともできます。
ページ上部のシミュレーターの「たいけん」のタブで、段のある水そうに1分ずつ水を入れると、下の段がいっぱいになったところでグラフが折れる様子を見られます。
例題2：しきりのある水そう
横50cm・高さ30cm・奥行き20cmの水そうがあり、左はしから20cmのところに、高さ15cmのしきりがあります。左の部屋に、毎分1000cm³の水を入れます。左の部屋の水の深さが15cmになるのは何分後ですか。深さが変わらないのは何分後から何分後までですか。満水になるのは何分後ですか。
- 区間に分ける：①左の部屋がしきりの高さまで ②しきりをこえた水が右の部屋に入る ③しきりより上（水そう全体）の3つに分ける
- ①左の部屋：20 × 20 × 15 ＝ 6000cm³。6000 ÷ 1000 ＝ 6。6分後に15cm
- ②右の部屋：右の部屋の横は 50 − 20 ＝ 30cm。30 × 20 × 15 ＝ 9000cm³ なので、9000 ÷ 1000 ＝ 9分。この間、左の部屋の深さは15cmのまま。6 ＋ 9 ＝ 15 なので、6分後から15分後まで
- ③しきりより上：50 × 20 ×（30 − 15）＝ 15000cm³。15000 ÷ 1000 ＝ 15分。15 ＋ 15 ＝ 30。30分後に満水
②の区間では、水は入り続けているのに、左の部屋の深さは変わりません。しきりをこえた水が、右の部屋に入っているからです。グラフはこの間、平ら（横ばい）になります。 ③の区間は底面積が 50 × 20 ＝ 1000cm² なので、1分で上がる深さは 1000 ÷ 1000 ＝ 1cm です。①の区間（底面積 20 × 20 ＝ 400cm²、1分で 1000 ÷ 400 ＝ 2.5cm）より、かたむきがゆるやかになります。
グラフの読み方
グラフのかたむきから、水そうの形を読みとることもできます。
- かたむきが急：1分で上がる深さが大きい＝水が入る部分の底面積がせまい
- かたむきがゆるい：1分で上がる深さが小さい＝水が入る部分の底面積が広い
- 平ら：深さが変わらない＝ほかの部屋に水が入っている
例題1では、4分までのかたむき（1分に2.5cm）が、4分からのかたむき（1分に1.25cm）より急です。下の段のほうがせまいことが、グラフからもわかります。
ダイヤグラム・帰一算とのつながり
ダイヤグラムも、横が時間のグラフです。ダイヤグラムでは線のかたむきが速さ（1分に進む道のり）を、水そうグラフでは1分で上がる深さを表します。 どちらも、かたむきが「1分あたり」の量を表していて、急なほど1分あたりの量が大きい、という読み方は同じです。
1分で上がる深さを出すときの考え方は、帰一算の「1つあたりにもどす」考え方と同じです。 毎分500cm³の水が底面積200cm²に広がるので、1cm²あたりに入る水の量、つまり1分で上がる深さは 500 ÷ 200 ＝ 2.5cm になります。
子どもがつまずきやすいポイント
1. 奥行きをかけ忘れる
例題1の下の段で、正面から見た図の数だけを使って 20 × 10 ＝ 200 を水の量にしてしまうまちがいです。200 ÷ 500 では、1分もかからずにいっぱいになってしまいます。 正面から見た図には奥行きがかかれていないので、「横 × 奥行き × 高さ」の3つをかけたかを、指でさして確かめましょう。
2. 上の段の時間を、下の段の横で計算する
例題1の上の段で、20 × 10 × 15 ＝ 3000cm³、3000 ÷ 500 ＝ 6分 として、満水を 4 ＋ 6 ＝ 10分後 としてしまうまちがいです。 区間ごとに、その区間の横（底面積）を使います。図の区間に色をぬって、どの横を使うかを分けると、取りちがえにくくなります。
3. 深さが変わらない時間を足し忘れる
例題2で、左の部屋の6分と、しきりより上の15分だけを足して、6 ＋ 15 ＝ 21分 としてしまうまちがいです。 深さが変わらない間も、水は右の部屋に入っています。グラフの平らな区間も、時間の中に入れて 6 ＋ 9 ＋ 15 ＝ 30分 になります。
4. ○分後の深さを、1つ目の区間の上がり方のまま計算する
例題1で、12分後の深さを 2.5 × 12 ＝ 30cm としてしまうまちがいです。水そうの高さは 10 ＋ 15 ＝ 25cm なので、ありえない深さです。 4分後からは上の段に入るので、1分で上がる深さは1.25cmに変わります。10 ＋ 1.25 ×（12 − 4）＝ 20cm が正しい深さです。
家での教え方
区間に分けて、表にする
最初は、式より先に、水そうの図に「ここまでが区間1、ここからが区間2」と線を引いて分けます。 そのうえで、区間ごとに「入る水の量」「かかる時間」「1分で上がる深さ」を表にまとめると、どの数をどこで使うかが整理できます。
1分ごとの深さを、表にしてグラフにかく
例題1の深さを、時間ごとに表にすると、4分のところで上がり方が変わることが見えてきます。
| 水を入れはじめてから | 水の深さ |
|---|---|
| 0分 | 0cm |
| 2分 | 5cm |
| 4分 | 10cm |
| 8分 | 15cm |
| 12分 | 20cm |
| 16分 | 25cm |
0分から4分までは2分で5cm、4分から16分までは4分で5cm上がります。この表の点を方眼紙に打ってつなぐと、例題1のグラフになります。
シミュレーターで、水面とグラフを見くらべる
シミュレーターの「たいけん」では、1分ずつ水を入れるたびに、水そうの水面とグラフの点が同時に動きます。 「水面が上がる速さ」と「グラフのかたむき」が同じものだと分かると、グラフを読む力がつきます。しきりのある水そうでは、深さが変わらない間に、右の部屋に水がたまっていく様子も確かめられます。
この記事とシミュレーターで扱っていない問題
この記事とシミュレーターでは、直方体を組み合わせた水そうに、一定の割合で水を入れる問題にしぼっています。次のような問題も、形や水の出入りが変わるところで区間に分けて考えるのは同じです。
- L（リットル）を使う問題：1L＝1000cm³ に直してから計算します
- 水を出す問題・2つの管を使う問題：区間ごとに、1分あたりに増える（へる）水の量を出してから考えます
- おもりを入れる問題：おもりがしずんでいる高さまでは、水が入る部分の底面積が、おもりの分だけせまくなります
- 円柱などの水そう：底面積を求める式が変わるだけで、区間ごとに「水の量 ÷ 1分に入る量」で考えるのは同じです
まとめ
- 水そうグラフは、横が時間、たてが水の深さのグラフ。線が折れるのは、水が入る部分の底面積が変わるところ
- 水そうを形の変わるところで区間に分け、区間ごとに「入る水の量 ÷ 1分に入る水の量」で時間を出す
- 入る水の量は「横 × 奥行き × 高さ」。正面から見た図にない奥行きもかける
- かたむきが急なのは底面積がせまい区間、ゆるいのは広い区間。平らな区間は、ほかの部屋に水が入っている
- ○分後の深さは、その時刻がどの区間にあるかを先に確かめてから計算する
まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に1分ずつ水を入れて、グラフが折れるところを確かめてみてください。
水そうグラフの
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