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点の移動とは？ 「どの辺の上か」を決めて、高さを読む
点の移動は、図形の辺の上を点が一定の速さで動くとき、その点がつくる図形の面積がどう変わるかを考える問題です。 この記事では、長方形 ABCD の辺の上を A → B → C → D と動く点 P と、三角形 APD の面積を考えます。横に時間、たてに面積をとったグラフは、上がる・平ら・下がるの3つの区間をつないだ形になります。
このページの上にあるシミュレーターでは、1秒ずつ点 P を進めながら、三角形 APD の形と、グラフの線がのびていく様子を同時に確かめられます。 この記事では、保護者の方向けに、点の移動の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。
点の移動とは
この記事の長方形 ABCD は、A が左上、B が左下、C が右下、D が右上です。点 P は A を出発して、辺 AB・BC・CD の上を順に進み、D で止まります。 グラフでは、次のところを読みます。
| グラフのところ | 表しているもの |
|---|---|
| 横（横の軸） | 点 P が出発してからの時間（秒） |
| たて（たての軸） | 三角形 APD の面積（cm²） |
| 線が上がるところ | P が辺 AB の上にいる（高さがのびる） |
| 線が平らなところ | P が辺 BC の上にいる（底辺も高さも変わらない） |
| 線が下がるところ | P が辺 CD の上にいる（高さがちぢむ） |
| 線が折れるところ | P が B や C に着いて、進む辺が変わるところ |
点の移動の問題は、P がどの辺の上にいるかで区間に分けて、区間ごとに考えるのが基本です。
基本の考え方
三角形 APD の底辺は、いつも AD（長方形の横）です。P がどこにいても、底辺の長さは変わりません。 変わるのは高さ（AD から P までの長さ）で、P がどの辺の上にいるかで決まります。
| P がいる辺 | 三角形 APD の高さ |
|---|---|
| 辺 AB の上 | AP（A から進んだ長さ） |
| 辺 BC の上 | たての長さ（いつも同じ） |
| 辺 CD の上 | DP（D までの残りの長さ） |
そのため、最初に「何秒後に、どの辺の上にいるか」を決めます。各辺を進む時間は、道のり ÷ 速さ で出せます。
| 求めるもの | 式 |
|---|---|
| 各辺を進む時間（秒） | 辺の長さ ÷ 速さ |
| P が進んだ道のり（cm） | 速さ × 時間 |
| 三角形 APD の面積（cm²） | 横（AD）× 高さ ÷ 2 |
例題1：面積を求める
横（AD）12cm、たて（AB）8cm の長方形 ABCD があります。点 P は A を出発して、辺の上を B・C を通って D まで、毎秒2cmで進みます。出発してから3秒後、7秒後、12秒後の三角形 APD の面積は、それぞれ何cm²ですか。
- 各辺を進む時間を出す：AB は 8 ÷ 2 ＝ 4秒、BC は 12 ÷ 2 ＝ 6秒、CD は 8 ÷ 2 ＝ 4秒。B に4秒後、C に 4 ＋ 6 ＝ 10秒後、D に 10 ＋ 4 ＝ 14秒後に着く
- 3秒後：4秒より前なので、P は辺 AB の上。高さ AP は 2 × 3 ＝ 6cm。面積は 12 × 6 ÷ 2 ＝ 36。36cm²
- 7秒後：4秒後から10秒後までは辺 BC の上。高さはたての8cm。面積は 12 × 8 ÷ 2 ＝ 48。48cm²（4秒後から10秒後まで、ずっと48cm²）
- 12秒後：10秒後より後なので、P は辺 CD の上。C から 2 ×（12 − 10）＝ 4cm 進んでいるので、高さ DP は 8 − 4 ＝ 4cm。面積は 12 × 4 ÷ 2 ＝ 24。24cm²
ページ上部のシミュレーターの「たいけん」のタブで、1秒ずつ P を進めると、B や C に着いたところでグラフが折れる様子を見られます。
例題2：時刻を求める
例題1と同じ長方形と点 P で、三角形 APD の面積が24cm²になるのは、出発してから何秒後と何秒後ですか。
- 高さを出す：面積 ＝ 12 × 高さ ÷ 2 なので、高さは 24 × 2 ÷ 12 ＝ 4cm
- 1回目（辺 AB の上）：AP が4cmになるとき。4 ÷ 2 ＝ 2。2秒後
- 2回目（辺 CD の上）：DP が4cmになるとき。A から 8 ＋ 12 ＋（8 − 4）＝ 24cm 進んだところなので、24 ÷ 2 ＝ 12。12秒後
面積が平らなところ（48cm²）より小さければ、同じ面積になるときは、上がる区間と下がる区間に1回ずつあります。問題が1回目と2回目のどちらを聞いているかを、最初に確かめておきましょう。 2回目は、D に着く14秒後から、DP の4cmを進む時間 4 ÷ 2 ＝ 2秒 をもどして、14 − 2 ＝ 12秒後 と出すこともできます。
シミュレーターの「ときかた」のタブでは、同じ長方形で、辺ごとに線を強調しながら解き方を順に確かめられます。
グラフの読み方
例題の長方形でグラフをかくと、次の3つの区間に分かれます。
- 上がる区間（0〜4秒）：P は辺 AB の上。高さ AP が1秒に2cmずつのびるので、面積は1秒に 12 × 2 ÷ 2 ＝ 12cm² ずつふえる
- 平らな区間（4〜10秒）：P は辺 BC の上。底辺も高さも変わらないので、面積は48cm²のまま
- 下がる区間（10〜14秒）：P は辺 CD の上。高さ DP が1秒に2cmずつちぢむので、面積は1秒に12cm²ずつへる
AB と CD は同じ長さなので、上がる区間と下がる区間は、どちらも4秒です。そのため、グラフは左右が同じ形の台形になります。 平らな区間の長さ（6秒間）は、BC を進む時間です。グラフの平らなところの長さから、横の長さ（BC）を 2 × 6 ＝ 12cm と読みとることもできます。
水そうグラフ・ダイヤグラム・旅人算とのつながり
水そうグラフにも、グラフが平らになるところがあります。水そうでは「深さが変わらない＝ほかの部屋に水が入っている」、点の移動では「面積が変わらない＝底辺も高さも変わらない（P が辺 BC の上にいる）」と読みます。 どちらも、平らな区間の間も時間は進んでいるので、時刻を出すときには、その時間も足します。
ダイヤグラムも、横が時間のグラフです。ダイヤグラムでは線のかたむきが速さを、点の移動では1秒にふえる（へる）面積を表します。
P がどこにいるかは、旅人算と同じく、道のり ＝ 速さ × 時間 で出します。例題1の12秒後は、2 × 12 ＝ 24cm 進んでいるので、AB（8cm）と BC（12cm）を通りすぎて、C から 24 − 20 ＝ 4cm のところにいます。
子どもがつまずきやすいポイント
1. ÷2を忘れる
例題1の3秒後で、12 × 6 ＝ 72 として、72cm² としてしまうまちがいです。平らなところの48cm²より大きくなるので、ありえない面積です。 三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」です。式を書いたら、最後に「÷2」があるかを指でさして確かめましょう。
2. 辺 CD の上で、高さを DP にしない
例題1の長方形で、11秒後の面積を考えます。P は C から 2 ×（11 − 10）＝ 2cm 進んでいます。このとき、高さを CP の2cmにして 12 × 2 ÷ 2 ＝ 12cm² としてしまうまちがいです。 三角形 APD の高さは、AD から P までの長さ、つまり DP です。DP は 8 − 2 ＝ 6cm なので、正しい面積は 12 × 6 ÷ 2 ＝ 36cm² です。
3. 2回目を聞かれて、1回目を答える
例題2で、「2回目は何秒後」と聞かれているのに、先に出た2秒後を答えてしまうまちがいです。 グラフをかくと、同じ面積の高さに線が2回出てきます。問題文の「1回目」「2回目」に線を引いてから解くと、取りちがえにくくなります。
4. 平らな区間の時間を足し忘れる
例題2の2回目で、AB の4秒と、CD で4cm進む 4 ÷ 2 ＝ 2秒 だけを足して、4 ＋ 2 ＝ 6秒後 としてしまうまちがいです。 P は BC の上を進む6秒の間も動いています。面積が変わらない間も時間は進むので、4 ＋ 6 ＋ 2 ＝ 12秒後 になります。
家での教え方
各辺を進む時間を、先に書きこむ
最初は、式より先に、長方形の図の各辺のそばに「4秒」「6秒」「4秒」と、その辺を進む時間を書きこみます。 B・C・D に着く時刻（4秒後・10秒後・14秒後）がわかると、「○秒後に P がどの辺の上にいるか」がすぐに決まります。
時間ごとの面積を、表にしてグラフにかく
例題の長方形で、時間ごとに P のいる辺と面積を表にすると、面積が上がる・平ら・下がるの区間が見えてきます。
| 出発してから | P のいるところ | 高さ | 面積 |
|---|---|---|---|
| 0秒 | A | 0cm | 0cm² |
| 2秒 | 辺 AB の上 | 4cm | 24cm² |
| 4秒 | B | 8cm | 48cm² |
| 7秒 | 辺 BC の上 | 8cm | 48cm² |
| 10秒 | C | 8cm | 48cm² |
| 12秒 | 辺 CD の上 | 4cm | 24cm² |
| 14秒 | D | 0cm | 0cm² |
この表の点を方眼紙に打ってつなぐと、例題のグラフ（台形の形）になります。
シミュレーターで、三角形とグラフを見くらべる
シミュレーターの「たいけん」では、1秒ずつ P を進めるたびに、三角形 APD の形とグラフの点が同時に動きます。 P が辺 BC の上にいる間は、三角形の形が変わっても面積が変わらないこと（底辺も高さも同じ）が、目で確かめられます。「もんだい」のタブで、面積や時刻を求める問題を解いてみるのもおすすめです。
この記事とシミュレーターで扱っていない問題
この記事とシミュレーターでは、長方形の辺を1つの点が動き、三角形 APD の面積を考える問題にしぼっています。次のような問題も、「どの辺の上か」で区間に分けて考えるのは同じです。
- 2つの点が動く問題：それぞれの点が、何秒後にどの辺の上にいるかを先に決めてから考えます
- 三角形 ABP など、別の三角形：底辺をどの辺にするかを決め、区間ごとに高さが何になるかを考えます
- 台形などの図形：辺の長さがちがっても、辺ごとに進む時間を出して区間に分けます
まとめ
- 点の移動は、辺の上を動く点がつくる図形の面積の変化を考える問題。グラフは横が時間、たてが面積
- 三角形 APD の底辺はいつも AD。高さは、辺 AB の上は AP、辺 BC の上はたての長さ、辺 CD の上は DP
- 最初に各辺を進む時間を出して、「何秒後に、どの辺の上にいるか」を決める
- グラフは、上がる（AB）・平ら（BC）・下がる（CD）の3つの区間で、台形の形になる
- 時刻を求めるときは、1回目か2回目かを確かめ、平らな区間の時間も足す
まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒に1秒ずつ点 P を進めて、グラフが折れるところを確かめてみてください。
点の移動の
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